📝 题目
10．求曲线 $y=x^{3}+x$ 上，其切线与直线 $y=4 x$ 平行的点．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 曲线方程为 $$y = x^{3} + x$$ 先求其导数，得到切线斜率函数： $$y' = \displaystyle{}\frac{d}{dx}(x^{3}+x) = 3x^{2} + 1$$
已知直线 $y = 4x$ 的斜率为 $4$。 因为切线与该直线平行，所以切线的斜率等于 $4$，即 $$3x^{2} + 1 = 4$$
解方程： $$3x^{2} = 3$$ $$x^{2} = 1$$ $$x = \pm 1$$
分别代入原曲线方程求对应的纵坐标：
当 $x = 1$ 时， $$y = 1^{3} + 1 = 2$$ 得点 $(1, 2)$。
当 $x = -1$ 时， $$y = (-1)^{3} + (-1) = -1 - 1 = -2$$ 得点 $(-1, -2)$。
因此，所求点为 $$\boxed{(1,2)\ \text{和}\ (-1,-2)}$$