📝 题目
11．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设双曲线方程为 $$ x y = a^{2}, \quad a > 0. $$
任取双曲线上一点 $P(x_0, y_0)$，满足 $x_0 y_0 = a^{2}$。 对原方程两边关于 $x$ 求导（视 $y$ 为 $x$ 的函数），得 $$ y + x \frac{dy}{dx} = 0, $$ 所以 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. $$ 因此在点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线斜率为 $$ k = -\frac{y_0}{x_0}. $$
切线方程为 $$ y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0). $$
分别求该切线与两坐标轴的交点：
- 令 $x = 0$，得 $$ y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (0 - x_0) = y_0, $$ 所以 $y = 2y_0$，即与 $y$ 轴交点为 $(0, 2y_0)$。
- 令 $y = 0$，得 $$ 0 - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0), $$ 即 $$ -y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0), $$ 两边除以 $-y_0$（$y_0 \neq 0$），得 $$ 1 = \frac{x - x_0}{x_0}, $$ 所以 $x = 2x_0$，即与 $x$ 轴交点为 $(2x_0, 0)$。
因此，切线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两直角边长分别为 $|2x_0|$ 和 $|2y_0|$。 其面积为 $$ S = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot |2y_0| = \frac{1}{2} \cdot 4 |x_0 y_0| = 2 |x_0 y_0|. $$
由 $x_0 y_0 = a^{2} > 0$，得 $$ S = 2 a^{2}. $$
由于点 $P$ 是双曲线上任意一点，故结论成立。 证毕。