📝 题目
5．求下列函数在定点处的导数： （1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}},\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ； （2）$f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(2)$ ； （3）$f(t)=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$ ，求 $f^{\prime}(4)$ ； （4）$y=\arctan x+3 \operatorname{arccot} x$ ，求 $f^{\prime}(1), f^{\prime}(-1)$ ； （5）设 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题2-1 第5题解答**
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### （1） 已知 $ y = \sin x - \cos x $，则 $$ y' = \cos x + \sin x $$ 于是 $$ \left. y' \right|_{x=\frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} $$ $$ \left. y' \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
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### （2） 已知 $$ f(x) = \frac{3}{5-x} + \frac{x^{2}}{5} $$ 先求导： $$ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{(5-x)^2} + \frac{2x}{5} $$ 于是 $$ f'(0) = \frac{3}{(5-0)^2} + 0 = \frac{3}{25} $$ $$ f'(2) = \frac{3}{(5-2)^2} + \frac{4}{5} = \frac{3}{9} + \frac{4}{5} = \frac{1}{3} + \frac{4}{5} = \frac{5}{15} + \frac{12}{15} = \frac{17}{15} $$
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### （3） 已知 $$ f(t) = \frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}} $$ 令 $ u = \sqrt{t} $，则 $ f = \frac{1-u}{1+u} $，由链式法则： $$ f'(t) = \frac{-(1+u) - (1-u)}{(1+u)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{-2}{(1+\sqrt{t})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = -\frac{1}{\sqrt{t}(1+\sqrt{t})^2} $$ 于是 $$ f'(4) = -\frac{1}{\sqrt{4}(1+\sqrt{4})^2} = -\frac{1}{2(1+2)^2} = -\frac{1}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{18} $$
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### （4） 已知 $$ y = \arctan x + 3\operatorname{arccot} x $$ 求导： $$ y' = \frac{1}{1+x^2} + 3\left(-\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{3}{1+x^2} = -\frac{2}{1+x^2} $$ 于是 $$ f'(1) = -\frac{2}{1+1^2} = -\frac{2}{2} = -1 $$ $$ f'(-1) = -\frac{2}{1+(-1)^2} = -\frac{2}{2} = -1 $$
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### （5） 已知 $$ f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)} $$ 直接求 $ f'(1) $ 可用定义或化简。先化简： $$ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} $$ 求导： $$ f'(x) = \frac{(2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2} $$ 代入 $ x=1 $： 分子第一项：$ (2\cdot1-3)(1+3+2) = (-1)\cdot6 = -6 $ 分子第二项：$ (1-3+2)(2+3) = 0 \cdot 5 = 0 $ 所以 $$ f'(1) = \frac{-6 - 0}{(1+3+2)^2} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6} $$
或者利用因式分解法：注意到分子有因子 $ (x-1) $，可设 $$ f(x) = (x-1) \cdot g(x), \quad g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x+2)} $$ 则 $$ f'(1) = g(1) = \frac{1-2}{(1+1)(1+2)} = \frac{-1}{2\cdot 3} = -\frac{1}{6} $$ 结果一致。
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**最终答案** （1）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ \sqrt{2}$ （2）$\displaystyle \frac{3}{25},\ \frac{17}{15}$ （3）$\displaystyle -\frac{1}{18}$ （4）$-1,\ -1$ （5）$\displaystyle -\frac{1}{6}$