📝 题目
7．求下列函数的导数 $(a \in \mathbf{R})$ ： （1）$y=a^{x} \cdot \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y=x^{a}+a^{x}+a^{a}$ ； （3）$y=x^{2} \cos x$ ； （4）$y=x \tan x-2 \sec x$ ； （5）$y=\frac{\sin x}{x^{2}}$ ； （6）$y=\sqrt{x}(x-\cot x) \cos x$ ； （7）$y=\ln (3 x)+3 \lg x$ ； （8）$y=x^{3} \ln x$ ； （9）$y=x^{2} \mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}+2 x+1}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐小题求导，使用基本求导法则（乘法法则、商法则、链式法则等）。
---
### （1）$ y = a^{x} \cdot e^{x} $
$$ y = (a e)^x, \quad y' = (a e)^x \ln(a e) = a^x e^x (\ln a + 1) $$
或者用乘法法则： $$ y' = a^x \ln a \cdot e^x + a^x \cdot e^x = a^x e^x (\ln a + 1) $$
---
### （2）$ y = x^{a} + a^{x} + a^{a} $
$$ y' = a x^{a-1} + a^{x} \ln a + 0 $$
---
### （3）$ y = x^{2} \cos x $
$$ y' = 2x \cos x + x^{2}(-\sin x) = 2x \cos x - x^{2} \sin x $$
---
### （4）$ y = x \tan x - 2 \sec x $
$$ y' = \tan x + x \sec^{2} x - 2 \sec x \tan x $$
---
### （5）$ y = \frac{\sin x}{x^{2}} $
$$ y' = \frac{\cos x \cdot x^{2} - \sin x \cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{x^{3}} $$
---
### （6）$ y = \sqrt{x}(x - \cot x) \cos x $
先写成 $ y = x^{1/2} (x - \cot x) \cos x $，用乘法法则：
设 $ u = x^{1/2} $, $ v = (x - \cot x) \cos x $，则 $$ u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ 先求 $ v' $： $$ v = x\cos x - \cot x \cos x = x\cos x - \frac{\cos x}{\tan x} = x\cos x - \frac{\cos^2 x}{\sin x} $$ 更简单：直接对 $ v = (x - \cot x)\cos x $ 求导 $$ v' = (1 + \csc^2 x)\cos x + (x - \cot x)(-\sin x) $$ 所以 $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x - \cot x)\cos x + \sqrt{x}\left[(1 + \csc^2 x)\cos x - (x - \cot x)\sin x\right] $$
---
### （7）$ y = \ln(3x) + 3 \lg x $
$$ \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, \quad \lg x = \frac{\ln x}{\ln 10} $$ 所以 $$ y' = \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{1}{x}\left(1 + \frac{3}{\ln 10}\right) $$
---
### （8）$ y = x^{3} \ln x $
$$ y' = 3x^{2} \ln x + x^{3} \cdot \frac{1}{x} = 3x^{2} \ln x + x^{2} = x^{2}(3\ln x + 1) $$
---
### （9）$ y = x^{2} e^{x} \cos x $
用两次乘法法则： $$ y' = 2x e^{x} \cos x + x^{2} e^{x} \cos x + x^{2} e^{x}(-\sin x) $$ $$ = e^{x} \left[ 2x \cos x + x^{2} \cos x - x^{2} \sin x \right] $$ $$ = e^{x} x \left[ 2\cos x + x(\cos x - \sin x) \right] $$
---
### （10）$ y = \frac{e^{x}}{x^{2}+2x+1} $
分母为 $(x+1)^2$，用商法则： $$ y' = \frac{e^{x}(x^{2}+2x+1) - e^{x}(2x+2)}{(x^{2}+2x+1)^{2}} $$ $$ = \frac{e^{x}(x^{2}+2x+1 - 2x - 2)}{(x+1)^{4}} = \frac{e^{x}(x^{2} - 1)}{(x+1)^{4}} $$ $$ = \frac{e^{x}(x-1)(x+1)}{(x+1)^{4}} = \frac{e^{x}(x-1)}{(x+1)^{3}} $$
---
难度评级：★★☆☆☆ （均为基本初等函数求导，无复杂复合或隐函数，但题量稍多）