📝 题目
8．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1, x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线，求抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] **步骤1：确定割线的斜率** 已知抛物线为 $ y = x^{2} $，取横坐标 $ x_{1}=1 $ 和 $ x_{2}=3 $ 的两点： 点 $ A(1,1) $，点 $ B(3,9) $。
割线 $ AB $ 的斜率为 $$ k_{\text{割}} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4. $$
**步骤2：求抛物线上切线斜率等于4的点** 抛物线 $ y = x^{2} $ 的导数为 $$ y' = 2x. $$ 令切线斜率等于割线斜率： $$ 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2. $$ 代入抛物线方程得 $$ y = 2^{2} = 4. $$ 因此点为 $ (2,4) $。
**步骤3：写出切线方程** 切线过点 $ (2,4) $，斜率 $ k = 4 $，方程为 $$ y - 4 = 4(x - 2), $$ 化简得 $$ y = 4x - 4. $$
**最终答案**： 抛物线上点 $ (2,4) $ 处的切线平行于该割线，切线方程为 $$ \boxed{y = 4x - 4}. $$
难度：★☆☆☆☆