📝 题目
9．求曲线 $y=\cos x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线与法线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，计算曲线 $y = \cos x$ 的导数： $$ y' = -\sin x. $$ 在点 $x = \frac{\pi}{3}$ 处，切线斜率为 $$ k_{\text{切}} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$ 因此切线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理为一般式： $$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}. $$
法线斜率为切线斜率的负倒数： $$ k_{\text{法}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. $$ 法线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理为： $$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} + \frac{1}{2}. $$
难度：★☆☆☆☆