📝 题目
1．选择题： （1）设 $y=f(-2 x)$ ，则 $y^{\prime}=(\quad)$ ； A．$f^{\prime}(2 x)$ B．$-f^{\prime}(-2 x)$ C．$f^{\prime}(-2 x)$ D．$-2 f^{\prime}(-2 x)$ （2）设 $f(x)=\arctan \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ ； A．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ B．$\frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ C．$\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}$ D．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}$ （3）设 $y=\ln x$ ，则 $y^{\prime \prime}=($ ； A．$\frac{1}{x}$ B．$-\frac{1}{x^{2}}$ C．$\frac{1}{x^{2}}$ D．$-\frac{2}{x}$ （4）设 $f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ ； A． 0 B． 1 C． 2 D．-2 （5）设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ； A． $\mathrm{e}^{x}$ B．$n!$ C．$n!+n \mathrm{e}^{x}$ D．$n!+\mathrm{e}^{x}$ （6）设 $y=\mathrm{e}^{a x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ． A．$a \mathrm{e}^{a x}$ B．$a^{n} \mathrm{e}^{a x}$ C． $\mathrm{e}^{a x}$ D．$a^{2} \mathrm{e}^{a x}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题2-2 选择题解答**
（1）设 $y=f(-2x)$，则 $y'$ 由复合函数求导法则： $$ y' = f'(-2x) \cdot (-2x)' = f'(-2x) \cdot (-2) = -2 f'(-2x) $$ 故选项为 **D**。
（2）设 $f(x)=\arctan(\mathrm{e}^x)$，则 $$ f'(x) = \frac{1}{1+(\mathrm{e}^x)^2} \cdot (\mathrm{e}^x)' = \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{2x}} $$ 故选项为 **A**。
（3）设 $y=\ln x$，则 $$ y' = \frac{1}{x}, \quad y'' = -\frac{1}{x^2} $$ 故选项为 **B**。
（4）设 $f(x)=x^3 - x^2 + x + 1$，则 $$ f'(x) = 3x^2 - 2x + 1, \quad f''(x) = 6x - 2 $$ 代入 $x=0$ 得 $f''(0) = -2$，故选项为 **D**。
（5）设 $y = x^n + \mathrm{e}^x$，则 - $x^n$ 的 $n$ 阶导数为 $n!$（因为每求一次导降一次幂，$n$ 次后为常数 $n!$，再求导为0） - $\mathrm{e}^x$ 的任意阶导数仍是 $\mathrm{e}^x$ 所以 $$ y^{(n)} = n! + \mathrm{e}^x $$ 故选项为 **D**。
（6）设 $y = \mathrm{e}^{ax}$，则 $$ y' = a \mathrm{e}^{ax}, \quad y'' = a^2 \mathrm{e}^{ax}, \quad \dots, \quad y^{(n)} = a^n \mathrm{e}^{ax} $$ 故选项为 **B**。
**最终答案** （1）D （2）A （3）B （4）D （5）D （6）B