📝 题目
10．求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$x^{2}+y^{2}-x y=\ln 2$ ； （2）$y=x+x \ln y$ ； （3）$y=\cos (x+y)$ ； （4）$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ ； （5） $\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； （6）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （7）$y=1+y \mathrm{e}^{x}$ ； （8）$y=x^{\frac{1}{y}}$ ； （9）$x^{y}+y^{x}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题2-2 第10题** 求隐函数 $y=y(x)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
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### （1）$x^{2}+y^{2}-x y=\ln 2$
两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2})+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{2})-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy)=0 $$ $$ 2x + 2y y' - (y + x y') = 0 $$ 整理： $$ 2x + 2y y' - y - x y' = 0 $$ $$ (2y - x) y' = y - 2x $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y - 2x}{2y - x} $$
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### （2）$y=x+x \ln y$
两边对 $x$ 求导： $$ y' = 1 + \ln y + x \cdot \frac{1}{y} y' $$ 移项： $$ y' - \frac{x}{y} y' = 1 + \ln y $$ $$ y' \left(1 - \frac{x}{y}\right) = 1 + \ln y $$ $$ y' \cdot \frac{y - x}{y} = 1 + \ln y $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(1 + \ln y)}{y - x} $$
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### （3）$y=\cos (x+y)$
两边对 $x$ 求导： $$ y' = -\sin(x+y) \cdot (1 + y') $$ 展开： $$ y' = -\sin(x+y) - \sin(x+y) y' $$ 移项： $$ y' + \sin(x+y) y' = -\sin(x+y) $$ $$ y' (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y) $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} $$
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### （4）$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$
两边对 $x$ 求导： $$ \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} y' = 0 $$ 乘以 $2$： $$ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} y' = 0 $$ 移项： $$ \frac{1}{\sqrt{y}} y' = -\frac{1}{\sqrt{x}} $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} $$
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### （5）$\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
先化简右边：$\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2})$。
两边对 $x$ 求导： 左边导数： $$ \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}} $$ 右边导数： $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} $$ 两边相等，分母相同，得： $$ y' x - y = x + y y' $$ 移项： $$ y' x - y y' = x + y $$ $$ y'(x - y) = x + y $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x + y}{x - y} $$
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### （6）$x y = \mathrm{e}^{x+y}$
两边对 $x$ 求导： $$ y + x y' = \mathrm{e}^{x+y} (1 + y') $$ 因为 $\mathrm{e}^{x+y} = xy$，代入： $$ y + x y' = xy (1 + y') $$ 展开： $$ y + x y' = xy + xy y' $$ 移项： $$ x y' - xy y' = xy - y $$ $$ y'(x - xy) = y(x - 1) $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)} $$
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### （7）$y=1+y \mathrm{e}^{x}$
两边对 $x$ 求导： $$ y' = 0 + y' \mathrm{e}^{x} + y \mathrm{e}^{x} $$ 移项： $$ y' - y' \mathrm{e}^{x} = y \mathrm{e}^{x} $$ $$ y'(1 - \mathrm{e}^{x}) = y \mathrm{e}^{x} $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y \mathrm{e}^{x}}{1 - \mathrm{e}^{x}} $$
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### （8）$y=x^{\frac{1}{y}}$
两边取自然对数： $$ \ln y = \frac{1}{y} \ln x $$ 两边对 $x$ 求导： $$ \frac{1}{y} y' = -\frac{1}{y^{2}} y' \ln x + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} $$ 两边乘以 $y$： $$ y' = -\frac{y'}{y} \ln x + \frac{1}{x} $$ 移项： $$ y' + \frac{y'}{y} \ln x = \frac{1}{x} $$ $$ y' \left(1 + \frac{\ln x}{y}\right) = \frac{1}{x} $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x\left(1 + \frac{\ln x}{y}\right)} = \frac{y}{x(y + \ln x)} $$
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### （9）$x^{y}+y^{x}=1$
两边取对数处理：令 $u = x^{y}$，$v = y^{x}$，则 $\ln u = y \ln