📝 题目
13．求由方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$y^{2}+\ln y+x=0$ ； （2）$y=\ln (x-y)$ ；
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 方程 $y^{2}+\ln y+x=0$，求 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。
**第一步：两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）** $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(y^{2}+\ln y+x\right)=0 $$ 得： $$ 2y y' + \frac{1}{y} y' + 1 = 0 $$ 即： $$ \left(2y + \frac{1}{y}\right) y' = -1 $$ 所以一阶导数为： $$ y' = -\frac{1}{2y + \frac{1}{y}} = -\frac{y}{2y^{2}+1} $$
**第二步：再对 $x$ 求导得二阶导数** 对 $y' = -\frac{y}{2y^{2}+1}$ 两边关于 $x$ 求导，使用商法则： $$ y'' = -\frac{y'(2y^{2}+1) - y \cdot (4y y')}{(2y^{2}+1)^{2}} $$ 分子提取 $y'$： $$ y'' = -\frac{y'\big[(2y^{2}+1) - 4y^{2}\big]}{(2y^{2}+1)^{2}} = -\frac{y'(1 - 2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{2}} $$ 将 $y' = -\dfrac{y}{2y^{2}+1}$ 代入： $$ y'' = -\frac{-\dfrac{y}{2y^{2}+1} \cdot (1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{2}} = \frac{y(1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{3}} $$
因此： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{y(1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{3}}} $$
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**（2）** 方程 $y=\ln (x-y)$，求 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。
**第一步：两边对 $x$ 求导** $$ y' = \frac{1}{x-y} \cdot (1 - y') $$ 即： $$ y' = \frac{1 - y'}{x-y} $$ 两边乘以 $x-y$： $$ (x-y) y' = 1 - y' $$ 整理： $$ (x-y) y' + y' = 1 $$ $$ y' (x-y+1) = 1 $$ 所以： $$ y' = \frac{1}{x-y+1} $$
**第二步：再对 $x$ 求导** 对 $y' = (x-y+1)^{-1}$ 求导： $$ y'' = -1 \cdot (x-y+1)^{-2} \cdot (1 - y') $$ 即： $$ y'' = -\frac{1 - y'}{(x-y+1)^{2}} $$ 代入 $y' = \dfrac{1}{x-y+1}$： $$ y'' = -\frac{1 - \dfrac{1}{x-y+1}}{(x-y+1)^{2}} = -\frac{\dfrac{x-y+1-1}{x-y+1}}{(x-y+1)^{2}} $$ 化简： $$ y'' = -\frac{x-y}{(x-y+1)^{3}} $$
因此： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = -\frac{x-y}{(x-y+1)^{3}}} $$