📝 题目
15．求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 已知椭圆方程为 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. $$ 要求椭圆上一点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程，我们采用隐函数求导法。
对椭圆方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) = 0. $$
计算得 $$ \frac{2x}{a^{2}} + \frac{2y}{b^{2}} \cdot y' = 0. $$
整理得 $$ \frac{2y}{b^{2}} y' = -\frac{2x}{a^{2}}, $$ 所以 $$ y' = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}. $$
在点 $M(x_0, y_0)$ 处，切线的斜率为 $$ k = y'(x_0, y_0) = -\frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}. $$
利用点斜式方程，切线方程为 $$ y - y_0 = -\frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}(x - x_0). $$
两边乘以 $a^{2}y_0$ 得 $$ a^{2}y_0(y - y_0) = -b^{2}x_0(x - x_0), $$ 即 $$ a^{2}y_0 y - a^{2}y_0^{2} = -b^{2}x_0 x + b^{2}x_0^{2}. $$
移项整理： $$ b^{2}x_0 x + a^{2}y_0 y = b^{2}x_0^{2} + a^{2}y_0^{2}. $$
由于点 $M(x_0, y_0)$ 在椭圆上，满足 $$ \frac{x_0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_0^{2}}{b^{2}} = 1, $$ 两边乘以 $a^{2}b^{2}$ 得 $$ b^{2}x_0^{2} + a^{2}y_0^{2} = a^{2}b^{2}. $$
代入上式，切线方程简化为 $$ \boxed{\frac{x_0 x}{a^{2}} + \frac{y_0 y}{b^{2}} = 1}. $$
这就是椭圆在点 $M(x_0, y_0)$ 处的切线方程。