📝 题目
16．已知下列参数方程，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$\left\{\begin{array}{l}x=t^{4}, \\ y=4 t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{1+t}, \\ y=\frac{t}{1+t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=a t+b, \\ y=\frac{1}{2} a t^{2} .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分别计算四个参数方程的一阶和二阶导数。
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### （1） 参数方程： $$ \begin{cases} x = t^4, \\ y = 4t. \end{cases} $$
一阶导数： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \frac{4}{4t^3} = \frac{1}{t^3}. $$
二阶导数： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\left(t^{-3}\right)}{4t^3} = \frac{-3t^{-4}}{4t^3} = -\frac{3}{4t^7}. $$
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### （2） 参数方程： $$ \begin{cases} x = a(t - \sin t), \\ y = a(1 - \cos t). \end{cases} $$
一阶导数： $$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t, $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}. $$ 利用半角公式： $$ \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\frac{t}{2}. $$
二阶导数： $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\cot\frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}, $$ $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}}{a(1 - \cos t)}. $$ 又因为 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，所以： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}}{a\cdot 2\sin^2\frac{t}{2}} = -\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}. $$
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### （3） 参数方程： $$ \begin{cases} x = \frac{1}{1+t}, \\ y = \frac{t}{1+t}. \end{cases} $$
一阶导数： $$ \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{(1+t)^2}, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{(1+t)^2}, $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{(1+t)^2}}{-\frac{1}{(1+t)^2}} = -1. $$
二阶导数： 一阶导数为常数，所以： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = 0. $$
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### （4） 参数方程： $$ \begin{cases} x = a t + b, \\ y = \frac{1}{2} a t^2. \end{cases} $$
一阶导数： $$ \frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = a t, $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{a t}{a} = t. $$
二阶导数： $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = 1, $$ $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}. $$
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**最终结果：**
(1) $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{t^3}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{4t^7}. $$
(2) $$ \frac{dy}{dx} = \cot\frac{t}{2}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}. $$
(3) $$ \frac{dy}{dx} = -1, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = 0. $$
(4) $$ \frac{dy}{dx} = t, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}. $$
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难度：★★☆☆☆ （基本参数方程求导，主要考察链式法则和半角公式的运用，计算量不大。）