📝 题目
18．求 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知参数方程： $$ \begin{cases} x = \sqrt{2} \cos t, \\ y = \sin t \end{cases} $$ 在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处求切线方程和法线方程。
**第一步：求对应点的坐标** 当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时： $$ x_0 = \sqrt{2} \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1, $$ $$ y_0 = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ 所以切点为 $\displaystyle \left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
**第二步：求导数（斜率）** 参数方程下： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}. $$ 先求： $$ \frac{dx}{dt} = -\sqrt{2} \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t. $$ 因此： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sqrt{2} \sin t} = -\frac{\cot t}{\sqrt{2}}. $$ 在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处： $$ \cot\frac{\pi}{4} = 1, $$ 所以切线斜率： $$ k_{\text{tan}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}. $$
**第三步：切线方程** 点斜式： $$ y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} (x - 1). $$ 整理： $$ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ 由于 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，所以： $$ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}. $$ 即切线方程： $$ \boxed{y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}}. $$
**第四步：法线方程** 法线斜率与切线斜率互为负倒数： $$ k_{\text{norm}} = \sqrt{2}. $$ 法线方程： $$ y - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} (x - 1). $$ 整理： $$ y = \sqrt{2} x - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ 即： $$ \boxed{y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}}. $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ 本题仅涉及参数方程求导与直线方程，计算简单，无复杂技巧。