📝 题目
3．求下列各复合函数的导数： （1）$y=\sin 2 x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （3）$y=(2 x+1)^{2}$ ； （4）$y=\ln (1+3 x)$ ； （5）$y=\sqrt{\ln x}$ ； （6）$y=3^{\sqrt{x}}$ ； （7）$y=\left(2 x^{2}-1\right)^{2}$ ； （8）$y=\sin (4 x+1)$ ； （9）$y=\ln \left(x^{3}+1\right)$ ； （10）$y=\sin ^{2} x$ ； （11）$y=\ln (\ln x)$ ； （12）$y=\sqrt{x^{2}-2 x+3}$ ； （13）$y=\ln \sqrt{x}+\sqrt{\ln x}$ ； （14）$y=\mathrm{e}^{\cos x+x}$ ； （15）$y=2^{\sin x}$ ； （16）$y=\left(x^{2}-4 x+5\right)^{3}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细求导步骤，均使用复合函数求导法则（链式法则）。
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（1）$y=\sin 2x$ 令 $u=2x$，则 $y=\sin u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\cos u\cdot 2=2\cos 2x$。
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（2）$y=\mathrm{e}^{-2x}$ 令 $u=-2x$，则 $y=\mathrm{e}^u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\mathrm{e}^u\cdot(-2)=-2\mathrm{e}^{-2x}$。
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（3）$y=(2x+1)^2$ 令 $u=2x+1$，则 $y=u^2$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2u\cdot 2=4(2x+1)$。
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（4）$y=\ln(1+3x)$ 令 $u=1+3x$，则 $y=\ln u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot 3=\frac{3}{1+3x}$。
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（5）$y=\sqrt{\ln x}$ 令 $u=\ln x$，则 $y=u^{1/2}$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$。
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（6）$y=3^{\sqrt{x}}$ 令 $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$，则 $y=3^u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3^u\ln 3\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3^{\sqrt{x}}\ln 3}{2\sqrt{x}}$。
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（7）$y=(2x^2-1)^2$ 令 $u=2x^2-1$，则 $y=u^2$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2u\cdot 4x=8x(2x^2-1)$。
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（8）$y=\sin(4x+1)$ 令 $u=4x+1$，则 $y=\sin u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\cos u\cdot 4=4\cos(4x+1)$。
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（9）$y=\ln(x^3+1)$ 令 $u=x^3+1$，则 $y=\ln u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot 3x^2=\frac{3x^2}{x^3+1}$。
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（10）$y=\sin^2 x$ 令 $u=\sin x$，则 $y=u^2$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2u\cdot\cos x=2\sin x\cos x=\sin 2x$。
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（11）$y=\ln(\ln x)$ 令 $u=\ln x$，则 $y=\ln u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}$。
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（12）$y=\sqrt{x^2-2x+3}$ 令 $u=x^2-2x+3$，则 $y=u^{1/2}$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot(2x-2)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}}$。
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（13）$y=\ln\sqrt{x}+\sqrt{\ln x}$ 先化简第一项：$\ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$。
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（14）$y=\mathrm{e}^{\cos x+x}$ 令 $u=\cos x+x$，则 $y=\mathrm{e}^u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\mathrm{e}^u\cdot(-\sin x+1)=\mathrm{e}^{\cos x+x}(1-\sin x)$。
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（15）$y=2^{\sin x}$ 令 $u=\sin x$，则 $y=2^u$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2^u\ln 2\cdot\cos x=2^{\sin x}\cos x\ln 2$。
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（16）$y=(x^2-4x+5)^3$ 令 $u=x^2-4x+5$，则 $y=u^3$。 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=3u^2\cdot(2x-4)=3(x^2-4x+5)^2(2x-4)=6(x-2)(x^2-4x+5)^2$。
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以上为全部解答。