📝 题目
4．求下列各复合函数的导数： （1）$y=(4 x+1)^{5}$ ； （2）$y=5 e^{3 x}+x^{2}$ ； （3）$y=\sin 3^{x}$ ； （4）$y=5^{\sin 2 x}$ ； （5）$y=\tan ^{2} x$ ； （6）$y=\cot \sqrt{x}$ ； （7）$y=\arcsin \frac{1}{x}$ ； （8）$y=\operatorname{arccot} 2 x$ ； （9）$y=\cos x^{2}+2 \sin 2 x$ ； （10）$y=x \sqrt{1-x^{2}}$ ； （11）$y=x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （12）$y=x \arctan \frac{x}{3}$ ；
> (13) $y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ > (15) $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{\ln x}}$ > (17) $y=2 \tan ^{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各复合函数导数的求解过程，使用链式法则逐步推导。
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**（1）** $y=(4x+1)^5$ 令 $u=4x+1$，则 $y=u^5$。 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 4 = 20(4x+1)^4. $$
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**（2）** $y=5e^{3x}+x^2$ 第一项：令 $u=3x$，则 $\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3$。 所以 $$ y' = 5\cdot 3e^{3x} + 2x = 15e^{3x}+2x. $$
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**（3）** $y=\sin 3^x$ 令 $u=3^x$，则 $y=\sin u$。 $$ \frac{dy}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx} = \cos(3^x) \cdot 3^x \ln 3. $$
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**（4）** $y=5^{\sin 2x}$ 令 $u=\sin 2x$，则 $y=5^u$。 $$ \frac{dy}{dx} = 5^u \ln 5 \cdot \frac{du}{dx} = 5^{\sin 2x} \ln 5 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2\ln 5 \cdot 5^{\sin 2x} \cos 2x. $$
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**（5）** $y=\tan^2 x$ 令 $u=\tan x$，则 $y=u^2$。 $$ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \sec^2 x = 2\tan x \sec^2 x. $$
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**（6）** $y=\cot \sqrt{x}$ 令 $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$，则 $y=\cot u$。 $$ \frac{dy}{dx} = -\csc^2 u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\csc^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}. $$
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**（7）** $y=\arcsin \frac{1}{x}$ 令 $u=\frac{1}{x}=x^{-1}$，则 $y=\arcsin u$。 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}. $$
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**（8）** $y=\operatorname{arccot} 2x$ 令 $u=2x$，则 $y=\operatorname{arccot} u$。 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 2 = -\frac{2}{1+4x^2}. $$
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**（9）** $y=\cos x^2 + 2\sin 2x$ 第一项：令 $u=x^2$，则 $\frac{d}{dx}\cos x^2 = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin x^2$。 第二项：$\frac{d}{dx}2\sin 2x = 2\cos 2x \cdot 2 = 4\cos 2x$。 所以 $$ y' = -2x\sin x^2 + 4\cos 2x. $$
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**（10）** $y=x\sqrt{1-x^2}$ 使用乘积法则： $$ y' = 1\cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 合并： $$ y' = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}. $$
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**（11）** $y=x^2 \sin \frac{1}{x}$ 乘积法则： $$ y' = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. $$
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**（12）** $y=x \arctan \frac{x}{3}$ 乘积法则： $$ y' = 1\cdot \arctan\frac{x}{3} + x \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2} \cdot \frac{1}{3} = \arctan\frac{x}{3} + \frac{x}{3\left(1+\frac{x^2}{9}\right)}. $$ 化简： $$ y' = \arctan\frac{x}{3} + \frac{3x}{9+x^2}. $$
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**（13）** $y=\sqrt{1+\ln^2 x}$ 令 $u=1+\ln^2 x$，则 $y=u^{1/2}$。 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2\ln x \cdot \frac{1}{x}) = \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2 x}}. $$
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**（15）** $y=e^{\frac{x}{\ln x}}$ 令 $u=\frac{x}{\ln x}$，则 $y=e^u$。 先求 $u'$： $$ u' = \frac{1\cdot \ln x - x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}. $$ 所以 $$ y' = e^{\frac{x}{\ln x}} \cdot \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}. $$
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**（17）** $y=2\tan^2 \frac{1}{\sqrt{x}}$ 令 $u=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$，再令 $v=\tan u$，则 $y=2v^2$。 $$ \frac{dy}{dx} = 2\cdot 2v \cdot \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = 4\tan u \sec