📝 题目
5．求下列函数的导数： （1）$y=\ln \left(2 x^{2}+1\right)$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ ． （7）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sin 3 x$ ； （11）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （13）$y=\ln \ln \ln x$ ； （15）$y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$ ； （17）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ；
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各题求导过程，均使用复合函数求导法则。
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**（1）** $y=\ln \left(2 x^{2}+1\right)$
由链式法则： $$ y' = \frac{1}{2x^2+1} \cdot (4x) = \frac{4x}{2x^2+1}. $$
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**（3）** $y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$
令 $u = \arctan \sqrt{x}$，则 $y = e^u$，$y' = e^u \cdot u'$。
先求 $u'$： $$ u' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}. $$
因此： $$ y' = \mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}. $$
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**（5）** $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$
写成幂形式：$y = (x + x^{1/2})^{1/2}$。
链式法则： $$ y' = \frac{1}{2}(x + x^{1/2})^{-1/2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right). $$
整理： $$ y' = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}. $$
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**（7）** $y=\arccos \frac{1}{x}$
令 $u = \frac{1}{x}$，则 $y = \arccos u$，$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$。
$u' = -\frac{1}{x^2}$，且 $$ \sqrt{1-u^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}. $$
通常 $x>1$ 或 $x<-1$，取正根号时： $$ y' = -\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}. $$
若 $x>0$，则 $|x|=x$，得： $$ y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}. $$
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**（9）** $y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sin 3x$
使用乘积法则： $$ y' = \left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)' \sin 3x + \mathrm{e}^{-x/2} (\sin 3x)'. $$
其中： $$ \left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)' = -\frac12 \mathrm{e}^{-x/2}, \quad (\sin 3x)' = 3\cos 3x. $$
所以： $$ y' = -\frac12 \mathrm{e}^{-x/2} \sin 3x + 3\mathrm{e}^{-x/2} \cos 3x = \mathrm{e}^{-x/2}\left(3\cos 3x - \frac12 \sin 3x\right). $$
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**（11）** $y=\ln \tan \frac{x}{2}$
令 $u = \tan \frac{x}{2}$，则 $y = \ln u$，$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$。
$u' = \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac12$，因此： $$ y' = \frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \frac12 \sec^2\frac{x}{2} = \frac{\sec^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}. $$
利用 $\sec^2 = 1+\tan^2$ 或化简： $$ \frac{\sec^2}{2\tan} = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x. $$
所以： $$ y' = \csc x. $$
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**（13）** $y=\ln \ln \ln x$
逐层求导： $$ y' = \frac{1}{\ln\ln x} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}. $$
即： $$ y' = \frac{1}{x \ln x \cdot \ln\ln x}. $$
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**（15）** $y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$
令 $u = -\sin^2\frac{1}{x}$，则 $y = e^u$，$y' = e^u \cdot u'$。
先求 $u'$： $$ u = -\left(\sin\frac{1}{x}\right)^2, $$ $$ u' = -2\sin\frac{1}{x} \cdot \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2}{x^2} \sin\frac{1}{x} \cos\frac{1}{x}. $$
利用 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，得： $$ u' = \frac{1}{x^2} \sin\frac{2}{x}. $$
因此： $$ y' = \mathrm{e}^{-\sin^2\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \sin\frac{2}{x}. $$
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**（17）** $y=\ln (\sec x+\tan x)$
令 $u = \sec x + \tan x$，则 $y' = \frac{1}{u} \cdot u'$。
$u' = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x (\tan x + \sec x)$。
所以： $$ y' = \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \sec x. $$
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以上为所有小题的求导结果。