📝 题目
9．设 $y=\ln \left(1+2 x-3 x^{2}\right)$ ，求 $y^{(4)}$ ． （14）$y=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ ； （16）$y=\sin \sqrt{x^{2}+1}$ ； （18）$y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ ． （2）$y=\sin \left(3 x^{2}+1\right)^{3}$ ； （4）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （8）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （10）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （12）$y=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-2 x\right)$ ； （14）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （16）$y=\sin ^{2} x \cdot \sin \left(x^{2}\right)$ ； （18）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．
💡 答案与解析
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我们依次解答各题，给出完整步骤。
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**9.** 设 $ y = \ln(1+2x-3x^2) $，求 $ y^{(4)} $。
解： 首先化简： $$ y = \ln(1+2x-3x^2) = \ln\big( -(3x+1)(x-1) \big) $$ 但更直接求导： $$ y' = \frac{2 - 6x}{1+2x-3x^2} $$ 分母因式分解： $$ 1+2x-3x^2 = -(3x+1)(x-1) $$ 用部分分式： $$ \frac{2-6x}{1+2x-3x^2} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x-1} $$ 解出： $$ 2-6x = A(x-1) + B(3x+1) $$ 令 $ x=1 $ 得 $ -4 = 4B \Rightarrow B=-1 $ 令 $ x=-\frac13 $ 得 $ 2+2 = A(-\frac13-1) \Rightarrow 4 = -\frac43 A \Rightarrow A=-3 $
所以： $$ y' = -\frac{3}{3x+1} - \frac{1}{x-1} $$ 于是： $$ y^{(n)} = -3 \cdot \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(3x+1)^n} \cdot 3^{n} - \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x-1)^n} $$ 因为对 $ \frac{1}{ax+b} $ 的 n 阶导数为 $ \frac{(-1)^n n! a^n}{(ax+b)^{n+1}} $，注意符号调整。
对 $ n=4 $： $$ y^{(4)} = -3 \cdot \frac{(-1)^{3} 3! \cdot 3^4}{(3x+1)^4} - \frac{(-1)^3 3!}{(x-1)^4} $$ 计算：$ (-1)^3 = -1 $，所以： $$ y^{(4)} = -3 \cdot \frac{-6 \cdot 81}{(3x+1)^4} - \frac{-6}{(x-1)^4} = \frac{1458}{(3x+1)^4} + \frac{6}{(x-1)^4} $$
$$ \boxed{y^{(4)} = \frac{1458}{(3x+1)^4} + \frac{6}{(x-1)^4}} $$
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**(14)** $ y = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} $
解： 先化简： $$ \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} = \frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x} $$ 所以： $$ y = \frac{1+\sin x}{|\cos x|} $$ 在区间内可适当取正，通常假定 $ \cos x >0 $： $$ y = \frac{1+\sin x}{\cos x} = \sec x + \tan x $$ 因此： $$ y' = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x (\tan x + \sec x) $$ 也可写作： $$ y' = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} $$
$$ \boxed{y' = \sec x (\sec x + \tan x)} $$
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**(16)** $ y = \sin \sqrt{x^2+1} $
解： $$ y' = \cos\sqrt{x^2+1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
$$ \boxed{y' = \frac{x \cos\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}} $$
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**(18)** $ y = \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) $
解： 这是反双曲余弦：$ y = \operatorname{arcosh} x $，其导数为： $$ y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $$
$$ \boxed{y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}} $$
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**(2)** $ y = \sin\left(3x^2+1\right)^3 $
解： 令 $ u = (3x^2+1)^3 $，则： $$ y' = \cos u \cdot 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x (3x^2+1)^2 \cos\left((3x^2+1)^3\right) $$
$$ \boxed{y' = 18x (3x^2+1)^2 \cos\left((3x^2+1)^3\right)} $$
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**(4)** $ y = \sin^n x \cos nx $
解： 用乘积法则： $$ y' = n\sin^{n-1}x \cos x \cos nx + \sin^n x ( -n \sin nx) $$ $$ = n\sin^{n-1}x \big( \cos x \cos nx - \sin x \sin nx \big) $$ $$ = n\sin^{n-1}x \cos(x+nx) = n\sin^{n-1}x \cos((n+1)x) $$
$$ \boxed{y' = n \sin^{n-1}x \cos((n+1)x)} $$
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**(6)** $ y = \arcsin(1-2x) $
解： $$ y' = \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2) = \frac{-2}{\sqrt{1-(1-4x+4x^2)}} = \frac{-2}{\sqrt{4x-4x^2}} = \frac{-2}{2\sqrt{x-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}} $$
$$ \boxed{y' = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}} $$
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**(8)** $ y = \frac{1-\ln x}{1+\ln x} $
解： $$ y' = \frac{-\frac1x (1+\ln x) - (1-\ln x)\cdot \frac1x}{(1+\ln x)^2} = \frac{-\frac1x(1+\ln x + 1 - \ln x)}{(1+\ln x)^2} = \frac{-\frac{2}{x}}{(1+\ln x)^2} $$
$$ \boxed{y' = -\frac{2}{x(1+\ln x)^2}} $$
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**(10)** $ y = \left(\arcsin\frac{x}{2}\right)^2 $
解： $$ y' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}} \cdot \frac12 = \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} $$
$$ \boxed{y' = \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}} $$
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**(12)** $ y = e^{-x}(x^2-2x) $
解： $$ y' = -e^{-x}(x^2-2x) + e^{-x}(2x-2) = e^{-x}(-x^2+2x+2x-2) = e^{-x}(-x^2+4x-2) $$
$$ \boxed{y' = e^{-x}(-x^2+4x-2)} $$
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**(14)** $ y = \arctan\frac{x+1}{x-1} $
解： 注意： $$ \frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1+u^2} $$ 这里 $ u = \frac{x+1}{x-1} $，则： $$ u' = \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} $$ 且： $$ 1+u^2 = 1+ \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2+2}{(x-1)^2} $$ 所以： $$ y' = \frac{-2/(x-1)^2}{(2x^2+2)/(x-1)^2} = \frac{-2}{2(x^2+1)} = -\frac{1}{x^2+1} $$
$$ \boxed{y' = -\frac{1}{x^2+1}} $$
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**(16)** $ y