📝 题目
＊21．河水以 $8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}$ 的体流量流人水库中，水库形状是长为 4000 m 、顶角为 $120^{\circ}$ 的水槽，问：水深 20 m 时，水面每小时上升几米？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**分析题意** 水库形状为“长为 4000 m、顶角为 120° 的水槽”，可以理解为一个横截面为等腰三角形的棱柱形水槽，顶角（即水槽两侧壁之间的夹角）为 120°，长度（垂直于横截面的方向）为 4000 m。 河水以体积流量 $8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$ 流入，因此体积对时间的变化率是 $$ \frac{dV}{dt} = 8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. $$ 要求水深 20 m 时，水面上升的速度，即 $\displaystyle\frac{dh}{dt}$（单位：m/s，最后换算成 m/h）。
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**建立几何关系** 设水槽横截面为等腰三角形，顶角 $120^\circ$，顶点朝下（V形槽）。 设水深为 $h$（从顶点向上量），则水面宽度与水深成正比。 顶角 $120^\circ$，半角为 $60^\circ$，因此从顶点到水面边缘的斜线与竖直方向夹角为 $60^\circ$。 在深度 $h$ 处，水面半宽为 $$ \frac{b}{2} = h \tan 60^\circ = h\sqrt{3}. $$ 所以水面宽度 $$ b = 2\sqrt{3}\,h. $$
水槽长度 $L = 4000\ \mathrm{m}$，因此水的体积为 $$ V = \frac{1}{2} \times (\text{水面宽度}) \times h \times L = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3}\,h) \cdot h \cdot 4000 = 4000\sqrt{3}\,h^2. $$
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**微分关系** 对 $V = 4000\sqrt{3}\,h^2$ 两边关于时间 $t$ 求导： $$ \frac{dV}{dt} = 4000\sqrt{3} \cdot 2h \cdot \frac{dh}{dt} = 8000\sqrt{3}\,h \,\frac{dh}{dt}. $$ 已知 $\displaystyle\frac{dV}{dt} = 8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$，水深 $h=20\ \mathrm{m}$，代入得 $$ 8 = 8000\sqrt{3} \cdot 20 \cdot \frac{dh}{dt}. $$ 即 $$ 8 = 160000\sqrt{3} \cdot \frac{dh}{dt}. $$ 所以 $$ \frac{dh}{dt} = \frac{8}{160000\sqrt{3}} = \frac{1}{20000\sqrt{3}}\ \mathrm{m/s}. $$
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**换算为每小时上升米数** 1 小时 = 3600 秒，因此 $$ \frac{dh}{dt}\ (\text{m/h}) = \frac{1}{20000\sqrt{3}} \times 3600 = \frac{3600}{20000\sqrt{3}} = \frac{9}{50\sqrt{3}}. $$ 有理化： $$ \frac{9}{50\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{150} = \frac{3\sqrt{3}}{50}. $$
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**最终答案** $$ \boxed{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{50}\ \mathrm{m/h}} $$ 即水深 20 m 时，水面每小时上升约 $0.1039\ \mathrm{m}$（$3\sqrt{3}/50 \approx 0.1039$）。