📝 题目
10．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为 $R_{0}$ ，壁厚为 $d$ ，利用微分计算这个圆环面积的近似值（ $d$ 相当小）。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求圆环面积的近似值，已知内径为 $R_0$，壁厚为 $d$，且 $d$ 相当小，因此可以利用微分进行近似计算。
圆环面积精确公式为： $$ S = \pi (R_0 + d)^2 - \pi R_0^2 $$ 展开得： $$ S = \pi (R_0^2 + 2R_0 d + d^2) - \pi R_0^2 = 2\pi R_0 d + \pi d^2 $$ 当 $d$ 很小时，$d^2$ 是高阶小量，可以忽略，因此近似面积为： $$ S \approx 2\pi R_0 d $$
也可以从微分角度理解：将面积视为半径 $r$ 的函数 $A(r) = \pi r^2$，则当半径从 $R_0$ 增加到 $R_0 + d$ 时，面积的改变量近似为： $$ \Delta A \approx A'(R_0) \cdot d = 2\pi R_0 \cdot d $$ 结果一致。
因此，圆环面积的近似值为： $$ \boxed{2\pi R_0 d} $$
难度：★☆☆☆☆