📝 题目
11．半径为 15 cm 的球，半径伸长 2 mm ，球的体积约增加多少？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知球的体积公式为 $$ V = \frac{4}{3}\pi R^{3} $$ 其中 $R = 15\,\text{cm}$，半径的微小变化量为 $$ \Delta R = 2\,\text{mm} = 0.2\,\text{cm} $$
利用微分近似，体积的增量可以表示为 $$ \Delta V \approx dV = V'(R) \cdot \Delta R $$
先求导数： $$ V'(R) = \frac{d}{dR}\left( \frac{4}{3}\pi R^{3} \right) = 4\pi R^{2} $$
代入 $R = 15$ 和 $\Delta R = 0.2$： $$ \Delta V \approx 4\pi (15)^{2} \times 0.2 $$ $$ = 4\pi \times 225 \times 0.2 $$ $$ = 4\pi \times 45 $$ $$ = 180\pi $$
取 $\pi \approx 3.1416$，则 $$ \Delta V \approx 180 \times 3.1416 = 565.488 \,\text{cm}^3 $$
因此，球的体积约增加 $180\pi \,\text{cm}^3$，即大约 $565.5 \,\text{cm}^3$。
难度：★☆☆☆☆