📝 题目
3．已知 $y=x^{2}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知函数 $$ y = x^{2} - x $$ 先求微分 $\mathrm{d}y$。 因为 $$ \mathrm{d}y = y'(x) \, \mathrm{d}x = (2x - 1) \, \mathrm{d}x $$ 在 $x=2$ 处，$\mathrm{d}x = \Delta x$，所以 $$ \mathrm{d}y = (2 \cdot 2 - 1) \Delta x = 3 \Delta x $$
再计算 $\Delta y$： $$ \Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) $$ 在 $x=2$ 处： $$ f(2) = 2^{2} - 2 = 2 $$ $$ f(2+\Delta x) = (2+\Delta x)^{2} - (2+\Delta x) = (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^{2}) - 2 - \Delta x = 2 + 3\Delta x + (\Delta x)^{2} $$ 因此 $$ \Delta y = \bigl[2 + 3\Delta x + (\Delta x)^{2}\bigr] - 2 = 3\Delta x + (\Delta x)^{2} $$
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（1）当 $\Delta x = 0.1$ 时： $$ \Delta y = 3 \times 0.1 + (0.1)^{2} = 0.3 + 0.01 = 0.31 $$ $$ \mathrm{d}y = 3 \times 0.1 = 0.3 $$
（2）当 $\Delta x = 0.01$ 时： $$ \Delta y = 3 \times 0.01 + (0.01)^{2} = 0.03 + 0.0001 = 0.0301 $$ $$ \mathrm{d}y = 3 \times 0.01 = 0.03 $$
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难度：★☆☆☆☆