📝 题目
6．将适当的函数填人括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\mathrm{d}(\quad)=\sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （5）d（ ）$=\frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ； （6）d（ ）$=\frac{x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7）d（ ）$=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （9）d（ ）$=\sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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本题要求找出函数 $F(x)$，使得其微分等于给定的表达式，即 $\mathrm{d}F(x) = f(x)\,\mathrm{d}x$，因此 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。下面逐题求解。
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（1）$\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$
由 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x) = 2}$，得 $$ \mathrm{d}(2x) = 2\,\mathrm{d}x $$ 故填 $2x$。
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（2）$\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$
因为 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x}$，所以 $$ \mathrm{d}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x\,\mathrm{d}x $$ 故填 $\frac{3}{2}x^2$。
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（3）$\mathrm{d}(\quad)=\cos 2 x \mathrm{~d} x$
由 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) = \cos 2x}$，得 $$ \mathrm{d}\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) = \cos 2x\,\mathrm{d}x $$ 故填 $\frac{1}{2}\sin 2x$。
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（4）$\mathrm{d}(\quad)=\sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$
因为 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) = \sin\frac{x}{2}}$，所以 $$ \mathrm{d}\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) = \sin\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $-2\cos\frac{x}{2}$。
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（5）d（ ）$=\frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$
注意 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(-\ln|1-x|\bigr) = \frac{1}{1-x}}$，因此 $$ \mathrm{d}\bigl(-\ln|1-x|\bigr) = \frac{1}{1-x}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $-\ln|1-x|$。
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（6）d（ ）$=\frac{x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$
因为 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{2}\ln|1-x^2|\right) = \frac{x}{1-x^2}}$，所以 $$ \mathrm{d}\left(-\frac{1}{2}\ln|1-x^2|\right) = \frac{x}{1-x^2}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $-\frac{1}{2}\ln|1-x^2|$。
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（7）d（ ）$=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
由 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2\sqrt{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$，得 $$ \mathrm{d}\left(2\sqrt{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $2\sqrt{x}$。
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（8）$\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$
令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$，于是 $$ \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm{d}x = \frac{1}{t(1+t^2)}\cdot 2t\,\mathrm{d}t = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t $$ 积分得 $2\arctan t = 2\arctan\sqrt{x}$，因此 $$ \mathrm{d}\bigl(2\arctan\sqrt{x}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $2\arctan\sqrt{x}$。
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（9）d（ ）$=\sin x \cos x \mathrm{~d} x$
因为 $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$，而 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{4}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}\sin 2x}$，所以 $$ \mathrm{d}\left(-\frac{1}{4}\cos 2x\right) = \sin x\cos x\,\mathrm{d}x $$ 也可直接由 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}\sin^2 x\right) = \sin x\cos x}$，故填 $\frac{1}{2}\sin^2 x$ 或 $-\frac{1}{4}\cos 2x$。
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（10）$\mathrm{d}(\quad)=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$
因为 $\displaystyle{\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x}$，而 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x) = \sec x\tan x}$，所以 $$ \mathrm{d}(\sec x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x $$ 故填 $\sec x$。
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**最终答案** （1）$2x$ （2）$\frac{3}{2}x^2$ （3）$\frac{1}{2}\sin 2x$ （4）$-2\cos\frac{x}{2}$ （5）$-\ln|1-x|$ （6）$-\frac{1}{2}\ln|1-x^2|$ （7）$2\sqrt{x}$ （8）$2\arctan\sqrt{x}$ （9）$\frac{1}{2}\sin^2 x$（或 $-\frac{1}{4}\cos 2x$） （10）$\sec x$