📝 题目
7．若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，试问：$\Delta x \rightarrow 0$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_{0}}$ 与 $\Delta x$ 是否是等价无穷小？或同阶无穷小？是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小还是低阶的无穷小？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0)=\frac12$。 函数在 $x_0$ 处的微分定义为 $$ \left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0} = f'(x_0)\,\Delta x = \frac12 \Delta x. $$ 因此，当 $\Delta x \to 0$ 时， $$ \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\frac12\Delta x}{\Delta x} = \frac12 \neq 0, $$ 所以 $\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}$ 与 $\Delta x$ 是同阶无穷小，且由于极限为常数 $\frac12$，它们不是等价无穷小（等价无穷小要求极限为1），也不是高阶或低阶无穷小（因为比值极限为非零常数）。
**结论**：$\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}$ 与 $\Delta x$ 是 **同阶无穷小**。