📝 题目
9．利用微分求近似值： （1） $\mathrm{e}^{1.01}$ ； （2） $\cos 151^{\circ}$ ； （3）$\sqrt[3]{1.02}$ ； （4） $\lg 11$ ； （5） $\arcsin 0.5002$ ； （6） $\tan 45^{\prime}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）$\mathrm{e}^{1.01}$** 取函数 $f(x) = e^x$，已知 $f'(x) = e^x$。 取 $x_0 = 1$，$\Delta x = 0.01$，则 $$f(1.01) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = e^1 + e^1 \cdot 0.01 = e(1 + 0.01) = 2.71828 \times 1.01 \approx 2.7455.$$
**（2）$\cos 151^\circ$** 先将角度化为弧度：$151^\circ = 150^\circ + 1^\circ$，而 $150^\circ = \frac{5\pi}{6}$，$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ 弧度。 取 $f(x) = \cos x$，$f'(x) = -\sin x$。 令 $x_0 = \frac{5\pi}{6}$，$\Delta x = \frac{\pi}{180}$，则 $$\cos 151^\circ \approx \cos\frac{5\pi}{6} + \left(-\sin\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{180}.$$ 已知 $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660254$，$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$， 所以 $$\cos 151^\circ \approx -0.8660254 - \frac12 \cdot 0.0174533 \approx -0.8660254 - 0.00872665 \approx -0.874752.$$
**（3）$\sqrt[3]{1.02}$** 取 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$，$f'(x) = \frac13 x^{-2/3}$。 令 $x_0 = 1$，$\Delta x = 0.02$，则 $$\sqrt[3]{1.02} \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.02 = 1 + \frac13 \cdot 1 \cdot 0.02 = 1 + 0.0066667 \approx 1.006667.$$
**（4）$\lg 11$** $\lg x = \log_{10} x$，导数 $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$。 取 $x_0 = 10$，$\Delta x = 1$，则 $$\lg 11 \approx \lg 10 + \frac{1}{10 \ln 10} \cdot 1.$$ 已知 $\lg 10 = 1$，$\ln 10 \approx 2.302585$，所以 $$\frac{1}{10 \ln 10} \approx \frac{1}{23.02585} \approx 0.043429,$$ 因此 $\lg 11 \approx 1 + 0.04343 = 1.04343$（精确值约1.04139，近似合理）。
**（5）$\arcsin 0.5002$** 取 $f(x) = \arcsin x$，$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。 令 $x_0 = 0.5$，$\Delta x = 0.0002$，则 $$\arcsin 0.5002 \approx \arcsin 0.5 + \frac{1}{\sqrt{1-0.5^2}} \cdot 0.0002.$$ $\arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6} \approx 0.5235988$，$\sqrt{1-0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660254$， 所以 $$\frac{1}{0.8660254} \approx 1.1547005,$$ 乘以 $0.0002$ 得 $0.00023094$， 因此 $\arcsin 0.5002 \approx 0.5235988 + 0.0002309 \approx 0.5238297$ 弧度。
**（6）$\tan 45'$** $45'$ 即 $45$ 角分 $= \frac{45}{60}^\circ = 0.75^\circ$，化为弧度：$0.75 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.01308997$ 弧度。 取 $f(x) = \tan x$，$f'(x) = \sec^2 x$。 令 $x_0 = 0$，$\Delta x = 0.01308997$，则 $$\tan 45' \approx \tan 0 + \sec^2 0 \cdot 0.01308997 = 0 + 1 \cdot 0.01308997 \approx 0.01309.$$ （精确值 $\tan 0.75^\circ \approx 0.0130907$，吻合。）