📝 题目
10．利用洛必达法则求极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln (\sin x)}{(\pi-2 x)^{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\sin 4 x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \tan 2 x} \frac{\tan 5 x}{\tan 2 x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x^{3}+5 x^{2}-6 x-16}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1}{6\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\cos x}{\sin x}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\pi-2 \arctan x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\sin 3 x)}{\ln (\sin 2 x)}$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{2}}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ ； （17） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ； （19） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \sin x \ln x$ ； （21） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} x^{-2} \mathrm{e}^{x}$ ； （23） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ； （25） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{\sin x}$ ； （27） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ； （18） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$ ； （20） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)^{x}$ ； （22） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$ ； （24） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(\cot x)^{\sin x}$ ； （26） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ； （28） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$ ．
💡 答案与解析
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**习题2-4 第10题 利用洛必达法则求极限**
(1) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{x}$ 此为 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达法则： $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{5\cos 5x}{1}=5\cdot 1 =5. $$
(2) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$ 分子分母可约去 $x$（$x\to 0$ 时 $x\neq 0$），先化简： $$ \frac{x(x^2+x-5)}{x(x^2-4x+5)} = \frac{x^2+x-5}{x^2-4x+5}, $$ 则极限为 $\frac{0+0-5}{0-0+5} = -1$。 （也可用洛必达，但直接化简更简单。）
(3) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ $\frac{0}{0}$ 型，洛必达： $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1}=2. $$
(4) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}$ $1-\cos^2 x = \sin^2 x$，则 $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 1^2=1. $$
(5) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln (\sin x)}{(\pi-2 x)^{2}}$ 令 $t = \frac{\pi}{2}-x$，则 $x\to \frac{\pi}{2}$ 时 $t\to 0$，$\sin x = \cos t$，$\pi-2x = 2t$， 原式 $= \lim_{t\to 0}\frac{\ln(\cos t)}{4t^2}$。 $\ln(\cos t) \sim -\frac{t^2}{2}$（$t\to 0$），故极限 $= \frac{-\frac12}{4} = -\frac18$。 或用洛必达： $$ \lim_{t\to 0}\frac{-\sin t/\cos t}{8t} = \lim_{t\to 0}\frac{-\tan t}{8t} = -\frac18. $$
(6) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\sin 4 x}$ $\frac{0}{0}$ 型，洛必达： $$ \lim_{x\to \pi/4}\frac{\sec^2 x}{4\cos 4x} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4\cdot (-1)} = \frac{2}{-4} = -\frac12. $$
(7) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5 x}{\tan 2 x}$ $\frac{0}{0}$ 型，洛必达： $$ \lim_{x\to 0}\frac{5\sec^2 5x}{2\sec^2 2x} = \frac{5\cdot 1}{2\cdot 1} = \frac52. $$
(8) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x^{3}+5 x^{2}-6 x-16}$ 代入 $x=2$ 得 $\frac{0}{0}$，洛必达： 分子导 $4x^3$，分母导 $3x^2+10x-6$， $$ \lim_{x\to 2}\frac{4x^3}{3x^2+10x-6} = \frac{32}{12+20-6} = \frac{32}{26} = \frac{16}{13}. $$
(9) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ $\frac{0}{0}$ 型，连续洛必达： 第一次：$\frac{\sec^2 x -1}{1-\cos x} = \frac{\tan^2 x}{1-\cos x}$， 第二次：$\frac{2\tan x \sec^2 x}{\sin x} = \frac{2\sin x/\cos^3 x}{\sin x} = \frac{2}{\cos^3 x} \to 2$。 故极限为 $2$。
(10) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1}{6\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}$ 化简分子：$2xe^x - e^x +1$，分母：$6e^x(e^x-1)$。 $x\to 0$ 时分子 $\sim 2x(1+x) - (1+x)+1 = 2x+2x^2 -1 -x +1 = x+2x^2$，分母 $\sim 6(1)(x) = 6x$，故极限 $= \frac{1}{6}$。 或用洛必达： 分子导 $2e^x+2xe^x - e^x = e^x+2xe^x$，分母导 $6[e^x(e^x-1)+e^x\cdot e^x] = 6[e^{2x}-e^x+e^{2x}] = 6(2e^{2x}-e^x)$， $x=0$ 时分子 $=1$，分母 $=6(2-1)=6$，得 $\frac16$。
(11) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$ 代入 $x=1$ 得 $\frac{0}{0}$，因式分解：分子 $(x-1)^2(x+2)$，分母 $(x-1)^2(x+1)$，约去 $(x-1)^2$ 得 $\frac{x+2}{x+1}$，极限 $= \frac{3}{2}$。
(12) $\displaystyle{\