📝 题目
2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，求出定理中的 $\xi$ ． （1）$f(x)=2 x^{3},[-1,1]$ ； （2）$f(x)=\arctan x,[0,1]$ ； （3）$f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x-2,[-1,0]$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**拉格朗日中值定理条件**：函数在闭区间上连续，在开区间内可导。若满足，则存在 $\xi$ 在开区间内，使得 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$
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### （1）$f(x)=2x^{3},[-1,1]$
- 多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导，故满足拉格朗日定理条件。 - 计算： $f(-1)=2(-1)^3=-2$，$f(1)=2(1)^3=2$， 平均变化率 $$ \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{2-(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2. $$ - 求导：$f'(x)=6x^{2}$，令 $6\xi^{2}=2$，得 $\xi^{2}=\frac{1}{3}$， 所以 $\xi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$。 在开区间 $(-1,1)$ 内，两个值都满足，因此 $$ \xi=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{或}\quad \xi=-\frac{1}{\sqrt{3}}. $$
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### （2）$f(x)=\arctan x,[0,1]$
- $\arctan x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导，故满足条件。 - 计算： $f(0)=0$，$f(1)=\frac{\pi}{4}$， 平均变化率 $$ \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{\pi}{4}. $$ - 求导：$f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$，令 $$ \frac{1}{1+\xi^{2}}=\frac{\pi}{4}. $$ 解得 $$ 1+\xi^{2}=\frac{4}{\pi},\quad \xi^{2}=\frac{4}{\pi}-1. $$ 因为 $\frac{4}{\pi}>1$，所以 $\xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}$，在 $(0,1)$ 内，故 $$ \xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}. $$
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### （3）$f(x)=x^{3}+2x^{2}+x-2,[-1,0]$
- 多项式函数，连续可导，满足条件。 - 计算： $f(-1)=(-1)^3+2(1)+(-1)-2=-1+2-1-2=-2$， $f(0)=0+0+0-2=-2$， 平均变化率 $$ \frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=\frac{-2-(-2)}{1}=0. $$ - 求导：$f'(x)=3x^{2}+4x+1$，令 $$ 3\xi^{2}+4\xi+1=0. $$ 解二次方程： $$ \xi=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{-4\pm2}{6}. $$ 得 $\xi=-1$ 或 $\xi=-\frac{1}{3}$。 开区间 $(-1,0)$ 内只有 $\xi=-\frac{1}{3}$，因此 $$ \xi=-\frac{1}{3}. $$
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**最终答案** （1）$\xi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$； （2）$\xi=\sqrt{\frac{4}{\pi}-1}$； （3）$\xi=-\frac{1}{3}$。