📝 题目
3．试对下列函数写出柯西公式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$ ，并求 $\xi$ ． （1）$f(x)=x^{2}, F(x)=\sqrt{x},[1,4]$ ； （2）$f(x)=\sin x, F(x)=\cos x,\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 已知 $f(x)=x^{2}$，$F(x)=\sqrt{x}$，区间 $[1,4]$。 首先验证柯西中值定理条件：$f,F$ 在 $[1,4]$ 上连续，在 $(1,4)$ 内可导，且 $F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\neq 0$ 在 $(1,4)$ 内成立。
由柯西公式： $$ \frac{f(4)-f(1)}{F(4)-F(1)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)},\quad \xi\in(1,4). $$
计算： $$ f(4)=16,\quad f(1)=1,\quad f(4)-f(1)=15, $$ $$ F(4)=\sqrt{4}=2,\quad F(1)=\sqrt{1}=1,\quad F(4)-F(1)=1. $$ 所以左端为： $$ \frac{15}{1}=15. $$
又： $$ f'(x)=2x,\quad F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ 于是右端为： $$ \frac{2\xi}{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}}=2\xi\cdot 2\sqrt{\xi}=4\xi^{3/2}. $$
令其等于15： $$ 4\xi^{3/2}=15 \quad\Rightarrow\quad \xi^{3/2}=\frac{15}{4}. $$ 两边平方得： $$ \xi^{3}=\frac{225}{16}\quad\Rightarrow\quad \xi=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}=\frac{225^{1/3}}{16^{1/3}}. $$ 化简： $$ 225=15^{2},\quad 16=2^{4}, $$ 所以： $$ \xi=\frac{15^{2/3}}{2^{4/3}}=\left(\frac{15^{2}}{2^{4}}\right)^{1/3}=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}. $$ 数值上 $\xi\approx 2.41$，在 $(1,4)$ 内。
因此： $$ \boxed{\xi=\left(\frac{225}{16}\right)^{1/3}}. $$
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**（2）** 已知 $f(x)=\sin x$，$F(x)=\cos x$，区间 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$。 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内，$F'(x)=-\sin x\neq 0$（除端点外），满足条件。
柯西公式： $$ \frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{F(\frac{\pi}{2})-F(0)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)},\quad \xi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). $$
计算： $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad f(0)=0,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f(0)=1, $$ $$ F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0,\quad F(0)=\cos 0=1,\quad F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=-1. $$ 左端为： $$ \frac{1}{-1}=-1. $$
又： $$ f'(x)=\cos x,\quad F'(x)=-\sin x. $$ 右端为： $$ \frac{\cos\xi}{-\sin\xi}=-\cot\xi. $$
令其等于 $-1$： $$ -\cot\xi = -1 \quad\Rightarrow\quad \cot\xi = 1. $$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内，$\cot\xi=1$ 的解为： $$ \xi = \frac{\pi}{4}. $$
因此： $$ \boxed{\xi=\frac{\pi}{4}}. $$