📝 题目
4．已知函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，不求 $f(x)$ 的导数，讨论方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根数量并指出它们所在的区间。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**分析**： 函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 是四次多项式，其导数为三次多项式，因此方程 $f'(x)=0$ 最多有三个实根。 由于 $f(x)$ 有四个不同的实根 $x=1,2,3,4$，根据**罗尔定理**，在每两个相邻根之间，导数至少有一个零点。
**步骤**：
1. 函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(1)=f(2)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (1,2)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$。 2. 同理，在区间 $[2,3]$ 上，$f(2)=f(3)=0$，存在 $\xi_2 \in (2,3)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$。 3. 在区间 $[3,4]$ 上，$f(3)=f(4)=0$，存在 $\xi_3 \in (3,4)$ 使得 $f'(\xi_3)=0$。
这样我们找到了三个不同的实根，分别位于区间 $(1,2)$、$(2,3)$、$(3,4)$ 内。 由于 $f'(x)$ 是三次多项式，最多有三个实根，因此这些就是全部实根。
**结论**： 方程 $f'(x)=0$ 有 **3 个实根**，分别位于区间 $$(1,2),\quad (2,3),\quad (3,4)$$ 内。