📝 题目
5．试用拉格朗日中值定理证明： （1）若 $0\lt b \leqslant a$ ，则 $\frac{a-b}{a} \leqslant \ln \frac{a}{b} \leqslant \frac{a-b}{b}$ ； （2）若 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，则 $n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ； （3）$\frac{1}{n+1}\lt \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt \frac{1}{n}$ ； （4）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 设 $f(x)=\ln x$，在区间 $[b,a]$ 上应用拉格朗日中值定理（$0 存在 $\xi\in(b,a)$ 使得 $$ \frac{\ln a-\ln b}{a-b}=f'(\xi)=\frac{1}{\xi}. $$ 由于 $b<\xi **（2）** 设 $f(x)=x^{n}$，在区间 $[b,a]$ 上应用拉格朗日中值定理： 存在 $\xi\in(b,a)$ 使得 $$ \frac{a^{n}-b^{n}}{a-b}=n\xi^{n-1}. $$ 由于 $b<\xi **（3）** 取 $a=1+\frac{1}{n},\ b=1$，代入（1）中结论： 此时 $a-b=\frac{1}{n}$，且 $\ln\frac{a}{b}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$， 由（1）得 $$ \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{\frac{1}{n}}{1}. $$ 即 $$ \frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}. $$ **（4）** 设 $f(t)=\mathrm{e}^{t}$，在区间 $[1,x]$（$x>1$）上应用拉格朗日中值定理： 存在 $\xi\in(1,x)$ 使得 $$ \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{1}}{x-1}=\mathrm{e}^{\xi}. $$ 由于 $\xi>1$，有 $\mathrm{e}^{\xi}>\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$，于是 $$ \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}}{x-1}>\mathrm{e}. $$ 两边乘以正数 $x-1$ 得 $$ \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}>\mathrm{e}(x-1), $$ 即 $$ \mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}x. $$ 难度：★★☆☆☆