📝 题目
6．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知方程 $$ a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x = 0 $$ 有一个正根 $x = x_0$，即 $$ a_{0} x_0^{n}+a_{1} x_0^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x_0 = 0. $$ 显然 $x=0$ 也是该方程的一个根，因为代入 $x=0$ 得左边为0。因此原方程在区间 $[0, x_0]$ 上有两个根 $0$ 和 $x_0$。
考虑函数 $$ f(x) = a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x, $$ 它在 $[0, x_0]$ 上连续，在 $(0, x_0)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(x_0)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, x_0)$ 使得 $$ f'(\xi) = 0. $$
计算导数： $$ f'(x) = a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}. $$ 因此存在 $\xi \in (0, x_0)$ 满足 $$ a_{0} n \xi^{n-1} + a_{1} (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0, $$ 即方程 $$ a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0 $$ 有一个小于 $x_0$ 的正根 $\xi$。证毕。
难度：★★☆☆☆