📝 题目
3．利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
---
### （1） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]} $$
**第一步：展开分子** 由麦克劳林公式： $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$ $$ \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) $$ 相减得： $$ \cos x - \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}\right) + o(x^4) $$ $$ = \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4) $$
**第二步：展开分母中的因子** $$ \ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3) $$ 所以 $$ x + \ln(1-x) = x + \left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3) $$ 因此分母为： $$ x^2[x + \ln(1-x)] = x^2\left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^4}{2} + o(x^4) $$
**第三步：求极限** $$ \displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{-\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)} = \frac{-\frac{1}{12}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} $$
**答案：** $$ \boxed{\frac{1}{6}} $$
---
### （2） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}} $$
**第一步：展开分子** $$ \mathrm{e}^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) $$ $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) $$ 相乘时保留到 $x^3$ 项： $$ \mathrm{e}^{x}\sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right)\left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) $$ 先乘出： - $1 \cdot x = x$ - $1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) = -\frac{x^3}{6}$ - $x \cdot x = x^2$ - $\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$ - 更高阶忽略
所以： $$ \mathrm{e}^{x}\sin x = x + x^2 + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) $$
减去 $x(1+x) = x + x^2$ 得： $$ \mathrm{e}^{x}\sin x - x(1+x) = \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) $$
**第二步：求极限** $$ \displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3} $$
**答案：** $$ \boxed{\frac{1}{3}} $$
---
### （3） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}} $$
**第一步：展开** $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) $$ 则分子为： $$ \sin x - x + \frac{x^3}{6} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - x + \frac{x^3}{6} + o(x^5) = \frac{x^5}{120} + o(x^5) $$
**第二步：求极限** $$ \displaystyle{\lim}_{x\to 0} \frac{\frac{x^5}{120} + o(x^5)}{x^5} = \frac{1}{120} $$
**答案：** $$ \boxed{\frac{1}{120}} $$
---
难度：★★☆☆☆