📝 题目
4．试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使 $f(x)=x-(a+b \cos x) \sin x$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时关于 $x$ 的 5 阶无穷小．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知函数 $$ f(x)=x-(a+b\cos x)\sin x. $$ 要使得当 $x\to 0$ 时，$f(x)$ 是关于 $x$ 的 5 阶无穷小，即 $$ f(x) = O(x^5),\quad x\to 0, $$ 也就是要求 $f(x)$ 的泰勒展开中，$x, x^2, x^3, x^4$ 的系数均为零，而 $x^5$ 的系数不为零。
首先将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 展开到足够高阶：
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7), $$ $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6). $$
于是 $$ a + b\cos x = a + b\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) = (a+b) - \frac{b}{2}x^2 + \frac{b}{24}x^4 + O(x^6). $$
将其乘以 $\sin x$ 的展开：
先计算 $$ (a+b\cos x)\sin x = \left[(a+b) - \frac{b}{2}x^2 + \frac{b}{24}x^4 + O(x^6)\right] \cdot \left[x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\right]. $$
逐项相乘至 $x^5$ 项：
- 常数项乘 $x$：$(a+b)x$ - 常数项乘 $-\frac{x^3}{6}$：$-\frac{a+b}{6}x^3$ - 常数项乘 $\frac{x^5}{120}$：$\frac{a+b}{120}x^5$
- $-\frac{b}{2}x^2$ 乘 $x$：$-\frac{b}{2}x^3$ - $-\frac{b}{2}x^2$ 乘 $-\frac{x^3}{6}$：$\frac{b}{12}x^5$
- $\frac{b}{24}x^4$ 乘 $x$：$\frac{b}{24}x^5$
更高阶项不影响 $x^5$ 及以下。
因此合并：
一次项系数：$a+b$ 三次项系数：$-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}$ 五次项系数：$\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}$
于是 $$ f(x) = x - (a+b\cos x)\sin x = x - \left[ (a+b)x + \left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right)x^3 + \left(\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}\right)x^5 + \cdots \right]. $$
即 $$ f(x) = \big[1 - (a+b)\big]x - \left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right)x^3 - \left(\frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24}\right)x^5 + O(x^7). $$
要消去 $x$ 和 $x^3$ 项，令：
$$ 1 - (a+b) = 0 \quad\Rightarrow\quad a+b = 1, $$ $$ -\left(-\frac{a+b}{6} - \frac{b}{2}\right) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{a+b}{6} + \frac{b}{2} = 0. $$
代入 $a+b=1$ 得 $$ \frac{1}{6} + \frac{b}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{2} = -\frac{1}{6} \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{1}{3}. $$
再由 $a+b=1$ 得 $$ a = 1 - b = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}. $$
此时检查 $x^5$ 系数（应不为零）：
五次项系数为 $$ -\left( \frac{a+b}{120} + \frac{b}{12} + \frac{b}{24} \right) = -\left( \frac{1}{120} + \frac{-1/3}{12} + \frac{-1/3}{24} \right). $$
计算： $$ \frac{-1/3}{12} = -\frac{1}{36},\quad \frac{-1/3}{24} = -\frac{1}{72}. $$ 通分分母 360： $$ \frac{1}{120} = \frac{3}{360},\quad -\frac{1}{36} = -\frac{10}{360},\quad -\frac{1}{72} = -\frac{5}{360}. $$ 和为 $$ \frac{3 - 10 - 5}{360} = -\frac{12}{360} = -\frac{1}{30}. $$ 因此五次项系数为 $$ - \left( -\frac{1}{30} \right) = \frac{1}{30} \neq 0. $$
所以 $f(x)$ 确实是 $x$ 的 5 阶无穷小。
最终答案： $$ \boxed{a = \frac{4}{3},\quad b = -\frac{1}{3}}. $$
难度：★★☆☆☆