📝 题目
10．求函数 $y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ 图形的拐点及凹或凸的区间．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 函数为 $y = e^{\arctan x}$，定义域为 $(-\infty, +\infty)$。 先求一阶导数： $$ y' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}. $$
再求二阶导数： $$ y'' = \frac{d}{dx}\left( e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right) = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} + e^{\arctan x} \cdot \left(-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\right). $$ 整理得： $$ y'' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1 - 2x}{(1+x^2)^2}. $$
令 $y'' = 0$，由于 $e^{\arctan x} > 0$，$(1+x^2)^2 > 0$，所以只需 $$ 1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac12. $$
下面判断 $x = \frac12$ 两侧 $y''$ 的符号：
- 当 $x < \frac12$ 时，$1-2x > 0$，故 $y'' > 0$，函数图形是**凹**的（即下凸）； - 当 $x > \frac12$ 时，$1-2x < 0$，故 $y'' < 0$，函数图形是**凸**的（即上凸）。
因此： - 凹区间：$\displaystyle \left(-\infty, \frac12\right)$； - 凸区间：$\displaystyle \left(\frac12, +\infty\right)$； - 拐点为 $\displaystyle \left(\frac12, e^{\arctan \frac12}\right)$。
最终答案： $$ \boxed{\text{凹区间：}\left(-\infty,\frac12\right),\quad \text{凸区间：}\left(\frac12,+\infty\right),\quad \text{拐点：}\left(\frac12, e^{\arctan\frac12}\right)}. $$