📝 题目
11．求函数 $y=x^{4}(12 \ln x-7)$ 图形的拐点及凹或凸的区间．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 首先给出函数定义域为 $x>0$。 要求拐点及凹凸区间，需计算二阶导数并分析其符号。
1. 求一阶导数 函数 $y = x^{4}(12 \ln x - 7)$，利用乘积法则： $$ y' = 4x^{3}(12 \ln x - 7) + x^{4} \cdot \frac{12}{x} = 4x^{3}(12 \ln x - 7) + 12x^{3} $$ 合并同类项： $$ y' = 4x^{3}(12 \ln x - 7 + 3) = 4x^{3}(12 \ln x - 4) = 16x^{3}(3 \ln x - 1) $$
2. 求二阶导数 对 $y'$ 再次求导： $$ y'' = 48x^{2}(3 \ln x - 1) + 16x^{3} \cdot \frac{3}{x} = 48x^{2}(3 \ln x - 1) + 48x^{2} $$ 提取公因式： $$ y'' = 48x^{2} \big( 3 \ln x - 1 + 1 \big) = 48x^{2} \cdot 3 \ln x = 144 x^{2} \ln x $$
3. 分析凹凸性 因为 $x>0$，$144x^{2}>0$，所以 $y''$ 的符号完全由 $\ln x$ 决定： - 当 $\ln x > 0$，即 $x > 1$ 时，$y'' > 0$，曲线是**凹**的（下凸）； - 当 $\ln x < 0$，即 $0 < x < 1$ 时，$y'' < 0$，曲线是**凸**的（上凸）； - 当 $\ln x = 0$，即 $x=1$ 时，$y''=0$，且左右两侧 $y''$ 变号，因此 $x=1$ 对应拐点。
4. 求拐点坐标 将 $x=1$ 代入原函数： $$ y(1) = 1^{4}(12 \ln 1 - 7) = 1 \cdot (0 - 7) = -7 $$ 所以拐点为 $(1, -7)$。
**结论**： - 凹区间（下凸）：$(1, +\infty)$ - 凸区间（上凸）：$(0, 1)$ - 拐点：$(1, -7)$
\boxed{\text{凹区间：}(1,+\infty),\quad \text{凸区间：}(0,1),\quad \text{拐点：}(1,-7)}