📝 题目
13．求曲线 $x=t^{2}, y=3 t+t^{3}$ 的拐点．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 已知曲线的参数方程为 $$ x = t^2, \quad y = 3t + t^3. $$
首先求一阶导数 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$： $$ \frac{dy}{dt} = 3 + 3t^2,\quad \frac{dx}{dt} = 2t, $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 + 3t^2}{2t} = \frac{3(1+t^2)}{2t}. $$
再求二阶导数 $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$。利用公式 $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}. $$
先计算 $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{3(1+t^2)}{2t}\right). $$ 将常数 $\frac{3}{2}$ 提出，对 $\frac{1+t^2}{t} = t^{-1} + t$ 求导： $$ \frac{d}{dt}\left(t^{-1} + t\right) = -t^{-2} + 1 = 1 - \frac{1}{t^2}. $$ 因此 $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{t^2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{t^2-1}{t^2}. $$
又 $\frac{dx}{dt} = 2t$，所以 $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{t^2-1}{t^2}}{2t} = \frac{3(t^2-1)}{4t^3}. $$
拐点出现在二阶导数为零或不存在且变号处。令 $\frac{d^2y}{dx^2}=0$，得 $$ t^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \pm 1. $$ 另外，当 $t=0$ 时，分母 $t^3=0$，二阶导数不存在，但此时 $x=0$，需检查是否变号。
- 当 $t=0$ 时，$x=0$，考虑 $t$ 在 $0$ 左右： 若 $t<0$，$t^3<0$，分子 $t^2-1<0$（$|t|<1$ 时），则 $\frac{d^2y}{dx^2}>0$（负负得正）； 若 $t>0$，$t^3>0$，分子仍为负，则 $\frac{d^2y}{dx^2}<0$。 因此 $t=0$ 处二阶导数变号，是拐点。
- 当 $t=1$ 时，$x=1,\ y=3+1=4$， 在 $t=1$ 左侧（如 $t=0.9$），$t^2-1<0$，$t^3>0$，二阶导为负； 在 $t=1$ 右侧（如 $t=1.1$），$t^2-1>0$，$t^3>0$，二阶导为正。 变号，故是拐点。
- 当 $t=-1$ 时，$x=1,\ y=-3-1=-4$， 在 $t=-1$ 左侧（如 $t=-1.1$），$t^2-1>0$，$t^3<0$，二阶导为负； 在 $t=-1$ 右侧（如 $t=-0.9$），$t^2-1<0$，$t^3<0$，二阶导为正。 变号，故也是拐点。
因此拐点坐标为： $$ t=0:\ (0,0),\quad t=1:\ (1,4),\quad t=-1:\ (1,-4). $$
**答案**：拐点为 $(0,0)$，$(1,4)$，$(1,-4)$。