第2章 · 第2-6-14题

[AI解答]

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**习题2-6 第14题 求下列曲线的渐近线**

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### （1）$ y=\frac{1}{x^{2}-4 x-5} $

先分解分母： $ x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) $，所以有两条垂直渐近线可能出现在分母为零处。

**垂直渐近线：** 当 $ x \to 5 $ 时，分母 $\to 0$，分子为常数1，故 $$ \lim_{x\to 5} y = \infty $$ 同理 $ x\to -1 $ 时，$ y\to\infty $。 所以垂直渐近线为 $$ x=5,\quad x=-1 $$

**水平渐近线：** $$ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x^2-4x-5} = 0 $$ 所以水平渐近线为 $$ y=0 $$

因此渐近线： $$ \boxed{x=-1,\quad x=5,\quad y=0} $$

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### （2）$ y=\frac{1}{(x+2)^{3}} $

**垂直渐近线：** 当 $ x\to -2 $ 时，分母 $\to 0$，分子为1，故 $$ \lim_{x\to -2} y = \infty $$ 垂直渐近线： $$ x=-2 $$

**水平渐近线：** $$ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{(x+2)^3} = 0 $$ 所以水平渐近线： $$ y=0 $$

因此： $$ \boxed{x=-2,\quad y=0} $$

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### （3）$ y=x \mathrm{e}^{x^{-2}} $

注意 $ x^{-2} = \frac{1}{x^2} $，所以当 $ x\to \infty $ 时，指数部分趋于 $ e^0=1 $，因此 $$ \lim_{x\to \pm\infty} x e^{1/x^2} = \pm\infty $$ 无水平渐近线。

**垂直渐近线：** 当 $ x\to 0 $ 时，$ 1/x^2 \to +\infty $，所以 $ e^{1/x^2}\to +\infty $，而 $ x\to 0 $，乘积为 $$ \lim_{x\to 0} x e^{1/x^2} $$ 令 $ t=1/x^2 $，则 $ x=\pm 1/\sqrt{t} $，当 $ t\to +\infty $， $$ \lim_{t\to +\infty} \frac{e^{t}}{\sqrt{t}} = +\infty $$ 所以 $ x=0 $ 是垂直渐近线。

**斜渐近线：** 考虑 $ x\to +\infty $： $$ \frac{y}{x} = e^{1/x^2} \to 1 $$ 斜率 $ k=1 $，截距 $$ b = \lim_{x\to +\infty} (y - x) = \lim_{x\to +\infty} x(e^{1/x^2}-1) $$ 利用 $ e^u-1 \sim u $ 当 $ u\to 0 $，这里 $ u=1/x^2 $，所以 $$ x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0 $$ 所以 $ b=0 $。同理 $ x\to -\infty $ 结果相同。 斜渐近线： $$ y=x $$

因此： $$ \boxed{x=0,\quad y=x} $$

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### （4）$ y=-(x+1)+\sqrt{x^{2}+1} $

先改写： $$ y = -x-1 + \sqrt{x^2+1} $$

**水平渐近线：** 当 $ x\to +\infty $， $$ \sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = x\left(1+\frac{1}{2x^2}-\cdots\right) = x + \frac{1}{2x} + \cdots $$ 所以 $$ y \approx -x-1 + x + \frac{1}{2x} = -1 + \frac{1}{2x} \to -1 $$ 因此有一条水平渐近线 $ y=-1 $ 当 $ x\to +\infty $。

当 $ x\to -\infty $，令 $ x=-t,\ t\to +\infty $，则 $$ \sqrt{x^2+1} = \sqrt{t^2+1} = t + \frac{1}{2t}+\cdots $$ 而 $ -(x+1) = t-1 $，所以 $$ y \approx t-1 + t = 2t -1 \to -\infty $$ 无水平渐近线，但可能有斜渐近线。

**斜渐近线（$ x\to -\infty $）：** 斜率 $$ k = \lim_{x\to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{-(x+1)+\sqrt{x^2+1}}{x} $$ 令 $ x=-t $， $$ \frac{-( -t+1) + \sqrt{t^2+1}}{-t} = \frac{t-1+\sqrt{t^2+1}}{-t} $$ 当 $ t\to +\infty $，$ \sqrt{t^2+1} \sim t $，分子 $\sim 2t$，所以 $$ k = \lim_{t\to +\infty} \frac{2t}{-t} = -2 $$ 截距 $$ b = \lim_{x\to -\infty} (y - kx) = \lim_{x\to -\infty} \left[-(x+1)+\sqrt{x^2+1} + 2x\right] = \lim_{x\to -\infty} \left(x-1+\sqrt{x^2+1}\right) $$ 令 $ x=-t $， $$ = \lim_{t\to +\infty} \left(-t-1+\sqrt{t^2+1}\right) = \lim_{t\to +\infty} \left(-t-1 + t\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\right) $$ 展开 $ \sqrt{1+1/t^2}=1+\frac{1}{2t^2}-\cdots $，得 $$ \approx -t-1 + t + \frac{1}{2t} = -1 + \frac{1}{2t} \to -1 $$ 所以斜