📝 题目
2．试证明下列不等式： （1）当 $x\gt 0$ 时，$x-\frac{x^{2}}{2}\lt \ln (1+x)\lt x$ ； （2）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{2}{\pi} x\lt \sin x\lt x$ ； （3）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ； （4）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ； （5）当 $x\gt 0$ 时， $\ln (1+x)\gt \frac{\arctan x}{1+x}$ ； （6）当 $x \geqslant 0$ 时， $\arctan x \leqslant x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐题证明。
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### （1）当 $x>0$ 时，$x-\frac{x^{2}}{2}<\ln(1+x) **证明**： 考虑函数 $f(x)=\ln(1+x)-x$，则 $$ f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}<0,\quad x>0 $$ 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 严格递减，且 $f(0)=0$，故 $f(x)<0$，即 $$ \ln(1+x) --- ### （2）当 $0 **证明**： 先证右半：令 $h(x)=x-\sin x$，则 $$ h'(x)=1-\cos x>0,\quad x\in(0,\frac{\pi}{2}) $$ 且 $h(0)=0$，故 $h(x)>0$，即 $\sin x --- ### （3）当 $0 **证明**： 令 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$，则 $$ f'(x)=\cos x+\sec^{2}x-2 $$ 当 $0 --- ### （4）当 $x>4$ 时，$2^{x}>x^{2}$ **证明**： 取对数等价于证明 $x\ln 2>2\ln x$，即 $\frac{x}{\ln x}>\frac{2}{\ln 2}$。 令 $g(x)=\frac{x}{\ln x}$，则 $$ g'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}} $$ 当 $x>e$ 时 $g'(x)>0$，故 $g(x)$ 在 $(e,+\infty)$ 严格递增。 由于 $4>e$，且 $g(4)=\frac{4}{\ln 4}=\frac{4}{2\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}$， 所以当 $x>4$ 时，$g(x)>g(4)=\frac{2}{\ln 2}$，即 $\frac{x}{\ln x}>\frac{2}{\ln 2}$， 从而 $x\ln 2>2\ln x$，即 $2^{x}>x^{2}$。 --- ### （5）当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$ **证明**： 令 $F(x)=(1+x)\ln(1+x)-\arctan x$，则 $$ F'(x)=\ln(1+x)+1-\frac{1}{1+x^{2}} $$ 当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>0$，且 $1-\frac{1}{1+x^{2}}>0$，故 $F'(x)>0$。 又 $F(0)=0$，所以 $F(x)>0$，即 $$ (1+x)\ln(1+x)>\arctan x $$ 两边除以 $1+x>0$ 得 $\ln(1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$。 --- ### （6）当 $x\geqslant 0$ 时，$\arctan x\leqslant x$ **证明**： 令 $H(x)=x-\arctan x$，则 $$ H'(x)=1-\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\geqslant 0 $$ 且等号仅在 $x=0$ 时成立，故 $H(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递增。 又 $H(0)=0$，所以当 $x\geqslant 0$ 时，$H(x)\geqslant 0$，即 $$ \arctan x\leqslant x $$ 等号仅在 $x=0$ 时成立。 --- 以上六题全部证毕。