📝 题目
3．求下列函数的极值： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x+7$ ； （2）$y=x^{2} \ln x$ ； （3）$y=2-(x-1)^{\frac{2}{3}}$ ； （4）$y=x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （5）$y=x+\frac{1}{x}$ ； （6）$y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}$ ； （7）$y=\arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)$ ； （8）$y=2 x-\ln (4 x)^{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的极值求解过程，包括定义域、一阶导数、驻点、不可导点及二阶导数或符号判定。
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### （1）$ y = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x + 7 $
定义域：$\mathbb{R}$ 一阶导数： $$ y' = 6x^{2} - 12x - 18 = 6(x^{2} - 2x - 3) = 6(x-3)(x+1) $$ 驻点：$x=-1$，$x=3$ 二阶导数： $$ y'' = 12x - 12 $$ - 当 $x=-1$，$y''=-24<0$，极大值 $$ y(-1) = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 $$ - 当 $x=3$，$y''=24>0$，极小值 $$ y(3) = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 $$
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### （2）$ y = x^{2} \ln x $
定义域：$x>0$ 一阶导数： $$ y' = 2x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1) $$ 令 $y'=0$，得 $x>0$，则 $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2}$ 二阶导数： $$ y'' = 2\ln x + 1 + 2 = 2\ln x + 3 $$ 代入 $x=e^{-1/2}$： $$ y'' = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0 $$ 极小值： $$ y(e^{-1/2}) = e^{-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e} $$
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### （3）$ y = 2 - (x-1)^{\frac{2}{3}} $
定义域：$\mathbb{R}$ 一阶导数： $$ y' = -\frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} $$ 当 $x=1$ 时导数不存在（分母为零），且 $x\neq 1$ 时导数不为零。 考察 $x=1$ 左右： - $x<1$，$(x-1)^{-1/3}<0$，故 $y'>0$ - $x>1$，$(x-1)^{-1/3}>0$，故 $y'<0$ 因此 $x=1$ 处取极大值： $$ y(1) = 2 - 0 = 2 $$
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### （4）$ y = x^{2} e^{-x^{2}} $
定义域：$\mathbb{R}$ 一阶导数： $$ y' = 2x e^{-x^{2}} + x^{2} e^{-x^{2}}(-2x) = 2x e^{-x^{2}} (1 - x^{2}) $$ 令 $y'=0$，得 $x=0$，$x= \pm 1$ 二阶导数（可计算符号或列表）： - $x=-1$，左正右负？实际检验：当 $x<-1$，$y'<0$；$-1
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### （5）$ y = x + \frac{1}{x} $
定义域：$x\neq 0$ 一阶导数： $$ y' = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} $$ 驻点：$x=\pm 1$ 二阶导数： $$ y'' = \frac{2}{x^{3}} $$ - $x=1$，$y''=2>0$，极小值 $y(1)=2$ - $x=-1$，$y''=-2<0$，极大值 $y(-1)=-2$
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### （6）$ y = 3 - 2(x+1)^{1/3} $
定义域：$\mathbb{R}$ 一阶导数： $$ y' = -\frac{2}{3}(x+1)^{-2/3} $$ 导数恒负（除 $x=-1$ 处不可导），无驻点。 在 $x=-1$ 处，函数连续，但左右导数均为负，故不是极值点。 结论：无极值。
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### （7）$ y = \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) $
定义域：$\mathbb{R}$ 一阶导数： $$ y' = \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} = \frac{1 - x}{1+x^{2}} $$ 驻点：$x=1$ 二阶导数： $$ y'' = \frac{-(1+x^{2}) - (1-x)(2x)}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{-1 - x^{2} - 2x + 2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(1+x^{2})^{2}} $$ 代入 $x=1$： $$ y''(1) = \frac{1 - 2 - 1}{(2)^{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} < 0 $$ 极大值： $$ y(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 $$
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### （8）$ y = 2x - \ln(4x)^{2} $
注意：$\ln(4x)^{2} = 2\ln|4x|$，定义域 $x\neq 0$ 化简： $$ y = 2x - 2\ln|4x| = 2x - 2(\ln 4 + \ln|x|) = 2x - 2\ln|x| - 2\ln 4 $$ 一阶导数： $$ y' = 2 - \frac{2}{x} = \frac{2x - 2}{x} = \frac{2(x-1)}{x} $$ 驻点：$x=1$（注意 $x=0$ 不在定义域） 二阶导数： $$ y'' = \frac{2}{x^{2}} > 0 \quad (x\neq 0) $$ 故 $x=1$ 为极小值点： $$ y(1) = 2 - \ln 4^{2} = 2 - \ln 16 = 2 - 4\ln 2 $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ 整体属于常规一元函数极值问题，包含多项式、分式、根式、对数、反三角等，只需注意定义域与不可导点即可。