📝 题目
＊16．利用曲线的凹凸性证明不等式：$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}$ ，其中 $x\gt 0, y\gt 0$ 且 $x \neq y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**：考虑函数 $ f(t) = t \ln t $，定义域为 $ t > 0 $。 首先求其导数与二阶导数：
$$ f'(t) = \ln t + 1, \quad f''(t) = \frac{1}{t} > 0 \quad (t > 0). $$
由于 $ f''(t) > 0 $，所以 $ f(t) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是严格凸函数。
对于凸函数，由 Jensen 不等式（或凸函数的定义），对任意两个正数 $ x, y $ 且 $ x \neq y $，有
$$ f\!\left( \frac{x+y}{2} \right) < \frac{f(x) + f(y)}{2}. $$
代入 $ f(t) = t \ln t $，即得
$$ \frac{x+y}{2} \ln \frac{x+y}{2} < \frac{x \ln x + y \ln y}{2}. $$
两边同时乘以 2，得到
$$ x \ln x + y \ln y > (x+y) \ln \frac{x+y}{2}. $$
因此原不等式成立。证毕。