📝 题目
12．生产某种商品 $x$ 单位的利润是 $L(x)=5000+x-0.00001 x^{2}$（元），问：生产多少个单位时获利润最大？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 利润函数为 $$ L(x)=5000+x-0.00001x^{2} $$ 其中 $x$ 表示生产数量（单位：个），$L(x)$ 表示利润（单位：元）。 这是一个开口向下的二次函数，最大值出现在导数为零的点。
先求导： $$ L'(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\left(5000+x-0.00001x^{2}\right)=1-0.00002x $$
令导数为零： $$ 1-0.00002x=0 $$ 解得 $$ x=\frac{1}{0.00002}=50000 $$
由于 $L''(x)=-0.00002<0$，说明该点为极大值点，也是最大值点。
因此，生产 **50000 个单位**时利润最大。
**答**：生产 $50000$ 个单位时获利润最大。