📝 题目
13．某厂每批生产 $A$ 商品 $x$ 台的费用为 $C(x)=5 x+200$（万元），得到的收入为 $R(x)= 10 x-0.01 x^{2}$（万元），问：每批生产多少台，才能使利润最大？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 利润函数为收入减去费用，即 $$ L(x) = R(x) - C(x) = (10x - 0.01x^2) - (5x + 200) = 5x - 0.01x^2 - 200. $$
为求最大利润，先求导数： $$ L'(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}\big(5x - 0.01x^2 - 200\big) = 5 - 0.02x. $$
令导数为零： $$ 5 - 0.02x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{0.02} = 250. $$
再求二阶导数以判断极值类型： $$ L''(x) = -0.02 < 0, $$ 因此 $x=250$ 处取得极大值，也是最大值。
**答**：每批生产 $250$ 台时，利润最大。