📝 题目
14．求圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 上任一点处的弧微分．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 圆方程为 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$，求弧微分 $ds$。
首先，对方程两边关于 $x$ 求导（隐函数求导法）： $$ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 $$ 解得 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. $$
弧微分公式为 $$ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx. $$ 代入导数： $$ ds = \sqrt{1 + \left( -\frac{x}{y} \right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}} \, dx = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} \, dx. $$
由于 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$，所以 $$ ds = \sqrt{\frac{R^{2}}{y^{2}}} \, dx = \frac{R}{|y|} \, dx. $$
若采用参数形式，令 $x = R\cos\theta,\; y = R\sin\theta$，则 $$ dx = -R\sin\theta\, d\theta,\quad dy = R\cos\theta\, d\theta, $$ 弧微分也可表示为 $$ ds = \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}} = \sqrt{R^{2}\sin^{2}\theta + R^{2}\cos^{2}\theta}\; d\theta = R\, d\theta. $$
因此，圆上任一点处的弧微分为 $$ \boxed{ds = \frac{R}{|y|}\,dx \quad \text{或} \quad ds = R\,d\theta}. $$