📝 题目
15．求抛物线 $y=x^{2}+x$ 上任一点处的弧微分及在点 $(0,0)$ 处的曲率．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解：** 设抛物线方程为 $$y = x^2 + x.$$
**1. 求弧微分** 弧微分公式为 $$\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \, \mathrm{d}x.$$ 先求一阶导数： $$y' = 2x + 1.$$ 于是 $$(y')^2 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.$$ 因此弧微分为 $$\mathrm{d}s = \sqrt{1 + 4x^2 + 4x + 1} \, \mathrm{d}x = \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \, \mathrm{d}x.$$ 可提取公因子： $$\mathrm{d}s = \sqrt{2(2x^2 + 2x + 1)} \, \mathrm{d}x = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x^2 + 2x + 1} \, \mathrm{d}x.$$ 所以，抛物线上任一点处的弧微分为 $$\boxed{\mathrm{d}s = \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \, \mathrm{d}x}.$$
**2. 求在点 $(0,0)$ 处的曲率** 曲率公式为 $$K = \frac{|y''|}{\left[1 + (y')^2\right]^{3/2}}.$$ 先求二阶导数： $$y'' = 2.$$ 在点 $(0,0)$ 处，$x=0$，则 $$y'(0) = 2\cdot 0 + 1 = 1, \quad y''(0) = 2.$$ 代入公式： $$K = \frac{|2|}{\left[1 + 1^2\right]^{3/2}} = \frac{2}{(2)^{3/2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ 因此，点 $(0,0)$ 处的曲率为 $$\boxed{K = \frac{1}{\sqrt{2}}}.$$