📝 题目
16．求双曲线 $x y=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 双曲线方程为 $xy = 4$，可改写为 $$ y = \frac{4}{x}. $$
首先求一阶导数： $$ y' = -\frac{4}{x^2}. $$ 在点 $(2,2)$ 处，代入 $x=2$ 得 $$ y'(2) = -\frac{4}{4} = -1. $$
再求二阶导数： $$ y'' = \frac{8}{x^3}. $$ 在 $x=2$ 处， $$ y''(2) = \frac{8}{8} = 1. $$
曲率公式为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{\frac{3}{2}}}. $$
代入 $y'(2) = -1$，$y''(2) = 1$： $$ K = \frac{|1|}{\left(1 + (-1)^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. $$
因此，双曲线 $xy=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率为 $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}. $$