📝 题目
17．求立方抛物线 $y=x^{3}$ 在点 $(0,0)$ 及点 $(2,8)$ 处的曲率．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 曲率公式为 $$ K = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}. $$
对于 $y = x^3$，先求一阶和二阶导数： $$ y' = 3x^2, \quad y'' = 6x. $$
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**(1) 在点 $(0,0)$ 处** 代入 $x=0$： $$ y'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0, \quad y''(0) = 6 \cdot 0 = 0. $$ 于是曲率 $$ K = \frac{|0|}{(1+0^2)^{3/2}} = 0. $$ 即该点曲率为 $0$，说明曲线在该点附近非常平直（拐点处）。
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**(2) 在点 $(2,8)$ 处** 代入 $x=2$： $$ y'(2) = 3 \cdot 2^2 = 12, \quad y''(2) = 6 \cdot 2 = 12. $$ 于是曲率 $$ K = \frac{|12|}{(1+12^2)^{3/2}} = \frac{12}{(1+144)^{3/2}} = \frac{12}{145^{3/2}}. $$ 由于 $145^{3/2} = 145 \cdot \sqrt{145}$，也可写为 $$ K = \frac{12}{145\sqrt{145}}. $$
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**最终答案**： 在 $(0,0)$ 处曲率为 $0$；在 $(2,8)$ 处曲率为 $\displaystyle \frac{12}{145\sqrt{145}}$。