📝 题目
18．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在哪一点处的曲率最大，最大曲率是多少？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 给定曲线为 $y = \mathrm{e}^{x}$，我们首先计算曲率公式所需的一阶和二阶导数。
曲率公式为 $$ K(x) = \frac{|y''(x)|}{\left(1 + [y'(x)]^2\right)^{3/2}}. $$
对于 $y = \mathrm{e}^{x}$，有 $$ y'(x) = \mathrm{e}^{x}, \quad y''(x) = \mathrm{e}^{x}. $$
代入公式得 $$ K(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1 + \mathrm{e}^{2x}\right)^{3/2}}. $$
由于 $\mathrm{e}^{x} > 0$，绝对值符号可去掉。
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**求曲率的最大值**： 令 $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + \mathrm{e}^{2x})^{3/2}}$，为方便求导，取对数或直接求导。
设 $t = \mathrm{e}^{x} > 0$，则 $$ K(t) = \frac{t}{(1 + t^{2})^{3/2}}, \quad t > 0. $$
对 $t$ 求导： $$ K'(t) = \frac{(1 + t^{2})^{3/2} - t \cdot \frac{3}{2}(1 + t^{2})^{1/2} \cdot 2t}{(1 + t^{2})^{3}}. $$
化简分子： $$ (1 + t^{2})^{3/2} - 3t^{2}(1 + t^{2})^{1/2} = (1 + t^{2})^{1/2}\left[(1 + t^{2}) - 3t^{2}\right] = (1 + t^{2})^{1/2}(1 - 2t^{2}). $$
令 $K'(t) = 0$，得 $$ 1 - 2t^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad t^{2} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\text{取正值}). $$
即 $$ \mathrm{e}^{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad x = \ln\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}\ln 2. $$
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**判断极值**： 当 $0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$1 - 2t^{2} > 0$，$K'(t) > 0$； 当 $t > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$K'(t) < 0$。 故 $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 处取得极大值，也是最大值。
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**最大曲率**： 代入 $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 到 $K(t)$： $$ K_{\max} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3/2}. $$
化简： $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3/2} = \frac{2^{3/2}}{3^{3/2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}. $$
因此 $$ K_{\max} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}. $$
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**结论**： 曲线 $y = \mathrm{e}^{x}$ 在点 $\displaystyle\left(-\frac{1}{2}\ln 2,\ \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 处曲率最大，最大曲率为 $\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{9}$。