📝 题目
19．椭圆 $x=2 \cos t, y=3 \sin t$ 上哪些点处曲率最大？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 给定椭圆的参数方程为 $$ x=2\cos t,\quad y=3\sin t. $$
首先计算一阶导数： $$ x'(t) = -2\sin t,\quad y'(t)=3\cos t. $$
二阶导数： $$ x''(t) = -2\cos t,\quad y''(t) = -3\sin t. $$
平面曲线的曲率公式为 $$ \kappa(t) = \frac{|x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)|}{\bigl[(x'(t))^2 + (y'(t))^2\bigr]^{3/2}}. $$
代入计算分子： $$ x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t) = (-2\sin t)(-3\sin t) - (-2\cos t)(3\cos t) = 6\sin^2 t + 6\cos^2 t = 6(\sin^2 t + \cos^2 t) = 6. $$
分母： $$ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 = (-2\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 4\sin^2 t + 9\cos^2 t. $$
因此曲率为 $$ \kappa(t) = \frac{6}{\bigl(4\sin^2 t + 9\cos^2 t\bigr)^{3/2}}. $$
由于分子为常数，曲率的大小完全由分母决定。要使曲率最大，需分母最小，即函数 $$ f(t) = 4\sin^2 t + 9\cos^2 t $$ 取最小值。
利用恒等式 $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$，得 $$ f(t) = 4(1-\cos^2 t) + 9\cos^2 t = 4 + 5\cos^2 t. $$
显然，当 $\cos^2 t$ 最小时 $f(t)$ 最小。$\cos^2 t$ 的最小值为 $0$，此时 $\cos t = 0$，即 $$ t = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. $$
代入参数方程： - 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$x=2\cos\frac{\pi}{2}=0,\; y=3\sin\frac{\pi}{2}=3$，得点 $(0,3)$； - 当 $t = \frac{3\pi}{2}$ 时，$x=0,\; y=-3$，得点 $(0,-3)$。
因此，椭圆上曲率最大的点为 $$ \boxed{(0,3)\ \text{和}\ (0,-3)}. $$