📝 题目
20．求椭圆 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t, \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率及曲率半径．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解**： 已知椭圆参数方程 $$ \begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t, \end{cases} $$ 点 $(0,b)$ 对应参数 $t = \dfrac{\pi}{2}$。
首先计算一阶导数： $$ x'(t) = -a\sin t,\quad y'(t) = b\cos t. $$ 在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处： $$ x'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a,\quad y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0. $$
再计算二阶导数： $$ x''(t) = -a\cos t,\quad y''(t) = -b\sin t. $$ 在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处： $$ x''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0,\quad y''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -b. $$
由参数方程曲率公式： $$ \kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{\bigl[(x')^2 + (y')^2\bigr]^{3/2}}. $$
代入数值： $$ x'y'' - x''y' = (-a)(-b) - (0)(0) = ab, $$ $$ (x')^2 + (y')^2 = (-a)^2 + 0^2 = a^2. $$
因此： $$ \kappa = \frac{|ab|}{(a^2)^{3/2}} = \frac{ab}{a^3} = \frac{b}{a^2}. $$
曲率半径 $R$ 为曲率的倒数： $$ R = \frac{1}{\kappa} = \frac{a^2}{b}. $$
**最终结果**： $$ \boxed{\kappa = \dfrac{b}{a^2},\quad R = \dfrac{a^2}{b}}. $$