📝 题目
25．设 $y=f(x)$ 为过原点的一条曲线，$f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 存在，有一条抛物线 $y=g(x)$ 与曲线 $y= f(x)$ 在原点相切，在该点处有相同的曲率，且在该点附近这两条曲线有相同的凹向，求 $g(x)$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知曲线 $y = f(x)$ 过原点，即 $f(0)=0$，且 $f'(0), f''(0)$ 存在。 要求构造一条抛物线 $y = g(x)$，满足：
1. 在原点与 $f(x)$ 相切：即 $g(0)=f(0)=0$，且 $g'(0)=f'(0)$。 2. 在原点有相同的曲率：曲率公式为 $$ \kappa = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}} $$ 由于在原点处 $y'$ 相同，要使曲率相等，需要 $|g''(0)| = |f''(0)|$。 3. 在该点附近有相同的凹向：即 $g''(0)$ 与 $f''(0)$ 同号，因此 $g''(0)=f''(0)$。
因此，我们设抛物线的一般形式为 $$ g(x) = a x^2 + b x + c $$ 由条件 $g(0)=0$ 得 $c=0$。 由 $g'(0)=b = f'(0)$，得 $b = f'(0)$。 由 $g''(0)=2a = f''(0)$，得 $a = \frac{f''(0)}{2}$。
于是所求抛物线为 $$ \boxed{g(x) = f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2}\,x^2} $$
这恰好是函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的二阶泰勒多项式，即二次逼近。
难度评级：★★☆☆☆ （只需理解曲率与凹向条件，直接代入抛物线形式即可求解）