📝 题目
7．在直线 $3 x-y-3=0$ 上求一点，使它与点 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和最小．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求点为 $P(x, y)$，它在直线 $3x - y - 3 = 0$ 上，因此满足 $$ y = 3x - 3. $$ 点 $P$ 到 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和为 $$ S = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-6)^2 + (y-4)^2. $$ 代入 $y = 3x - 3$，得 $$ S(x) = (x-1)^2 + \big[(3x-3)-1\big]^2 + (x-6)^2 + \big[(3x-3)-4\big]^2. $$ 化简括号内： $$ (3x-3)-1 = 3x-4,\quad (3x-3)-4 = 3x-7. $$ 因此 $$ S(x) = (x-1)^2 + (3x-4)^2 + (x-6)^2 + (3x-7)^2. $$ 分别展开平方项： $$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1, $$ $$ (3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16, $$ $$ (x-6)^2 = x^2 - 12x + 36, $$ $$ (3x-7)^2 = 9x^2 - 42x + 49. $$ 合并同类项： $$ x^2 + 9x^2 + x^2 + 9x^2 = 20x^2, $$ $$ -2x -24x -12x -42x = -80x, $$ 常数项： $$ 1 + 16 + 36 + 49 = 102. $$ 所以 $$ S(x) = 20x^2 - 80x + 102. $$ 这是一个开口向上的二次函数，最小值在导数为零处取得： $$ S'(x) = 40x - 80 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2. $$ 代入直线方程得 $$ y = 3(2) - 3 = 3. $$ 因此所求点为 $$ \boxed{(2,3)}. $$
难度：★☆☆☆☆