📝 题目
1．下列等式中成立的是（）。 A． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ B．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$ C．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$ D． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 本题考察不定积分与微分之间的基本关系。 已知不定积分的定义：若 $F'(x)=f(x)$，则 $$ \int f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。
逐项分析选项：
A. $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x)$ 由微分定义，$\mathrm{d} \left( \int f(x) \, \mathrm{d}x \right) = \mathrm{d}(F(x)+C) = F'(x) \, \mathrm{d}x = f(x) \, \mathrm{d}x$，而不是 $f(x)$，故 A 错误。
B. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) \mathrm{d} x$ 左边是导数，结果应为 $f(x)$，而不是 $f(x) \mathrm{d}x$，故 B 错误。
C. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) + C$ 左边求导后常数 $C$ 消失，应为 $f(x)$，故 C 错误。
D. $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) \mathrm{d} x$ 由前面推导，$\mathrm{d} \left( \int f(x) \, \mathrm{d}x \right) = f(x) \, \mathrm{d}x$，故 D 正确。
因此正确答案是 D。
难度：★☆☆☆☆